Страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.25, 3.26 решите уравнения.

3.25.

1) $ \sin^2 6x + 8 \sin^2 3x = 0; $

2) $ \sin^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \cos^2 4x; $

3) $ \sin^8 x + \cos^8 x = \frac{17}{32}; $

4) $ \cos 2x + 4 \sin^4 x = 8 \cos^6 x. $

1) Исходное уравнение: $sin^2 6x + 8 sin^2 3x = 0$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2 sin\alpha cos\alpha$. Для $sin 6x$ это будет:

$sin 6x = sin(2 \cdot 3x) = 2 sin 3x cos 3x$.

Тогда $sin^2 6x = (2 sin 3x cos 3x)^2 = 4 sin^2 3x cos^2 3x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 sin^2 3x cos^2 3x + 8 sin^2 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $4 sin^2 3x$ за скобки:

$4 sin^2 3x (cos^2 3x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

a) $sin^2 3x = 0$, что равносильно $sin 3x = 0$.

Решением этого уравнения является $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

b) $cos^2 3x + 2 = 0$, что равносильно $cos^2 3x = -2$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа (включая косинус) не может быть отрицательным. Значение $cos^2 3x$ всегда находится в промежутке $[0, 1]$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^2 x + cos^2 2x = sin^2 3x + cos^2 4x$.

Для решения применим формулы понижения степени: $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$ и $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$.

$\frac{1-cos(2x)}{2} + \frac{1+cos(4x)}{2} = \frac{1-cos(6x)}{2} + \frac{1+cos(8x)}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$(1 - cos(2x)) + (1 + cos(4x)) = (1 - cos(6x)) + (1 + cos(8x))$.

$2 - cos(2x) + cos(4x) = 2 - cos(6x) + cos(8x)$.

Вычтем 2 из обеих частей и перегруппируем слагаемые:

$cos(4x) - cos(2x) = cos(8x) - cos(6x)$.

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2 sin\frac{\alpha+\beta}{2} sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ к обеим частям уравнения.

Для левой части: $cos(4x) - cos(2x) = -2 sin\frac{4x+2x}{2} sin\frac{4x-2x}{2} = -2 sin(3x) sin(x)$.

Для правой части: $cos(8x) - cos(6x) = -2 sin\frac{8x+6x}{2} sin\frac{8x-6x}{2} = -2 sin(7x) sin(x)$.

Получаем уравнение:

$-2 sin(3x) sin(x) = -2 sin(7x) sin(x)$.

$sin(7x)sin(x) - sin(3x)sin(x) = 0$.

$sin(x)(sin(7x) - sin(3x)) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

a) $sin(x) = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

b) $sin(7x) - sin(3x) = 0$. Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2 sin\frac{\alpha-\beta}{2} cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2 sin\frac{7x-3x}{2} cos\frac{7x+3x}{2} = 0$.

$2 sin(2x) cos(5x) = 0$.

Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:

b1) $sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

b2) $cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

Объединим все решения. Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является частным случаем серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (когда $k$ - четное число, $k=2n$). Поэтому достаточно оставить серии $x = \frac{\pi k}{2}$ и $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^8 x + cos^8 x = \frac{17}{32}$.

Пусть $a = sin^2 x$ и $b = cos^2 x$. Тогда $a+b=1$. Уравнение примет вид $a^4 + b^4 = \frac{17}{32}$.

Выразим $a^4 + b^4$ через $ab$:

$a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = ((a+b)^2 - 2ab)^2 - 2(ab)^2$.

Поскольку $a+b=1$, то $a^4 + b^4 = (1-2ab)^2 - 2(ab)^2 = 1 - 4ab + 4(ab)^2 - 2(ab)^2 = 2(ab)^2 - 4ab + 1$.

Обозначим $y = ab = sin^2 x cos^2 x$. Уравнение становится квадратным относительно $y$:

$2y^2 - 4y + 1 = \frac{17}{32}$.

$2y^2 - 4y + 1 - \frac{17}{32} = 0 \implies 2y^2 - 4y + \frac{15}{32} = 0$.

Умножим на 32: $64y^2 - 128y + 15 = 0$.

Находим корни по формуле: $y = \frac{-(-128) \pm \sqrt{(-128)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 15}}{2 \cdot 64} = \frac{128 \pm \sqrt{16384 - 3840}}{128} = \frac{128 \pm \sqrt{12544}}{128} = \frac{128 \pm 112}{128}$.

$y_1 = \frac{128 + 112}{128} = \frac{240}{128} = \frac{15}{8}$;

$y_2 = \frac{128 - 112}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$.

Теперь вернемся к переменной $x$. $y = sin^2 x cos^2 x = (sin x cos x)^2 = (\frac{1}{2}sin(2x))^2 = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.

Так как $0 \le sin^2(2x) \le 1$, то для $y$ справедливо неравенство $0 \le y \le \frac{1}{4}$.

Проверим наши корни:

a) $y_1 = \frac{15}{8} = 1.875$. Это значение больше, чем $1/4$, поэтому оно не является решением.

b) $y_2 = \frac{1}{8}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{4}$.

Решаем уравнение $\frac{1}{4}sin^2(2x) = \frac{1}{8}$, откуда $sin^2(2x) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Используем формулу понижения степени: $\frac{1-cos(4x)}{2} = \frac{1}{2}$.

$1-cos(4x) = 1 \implies cos(4x) = 0$.

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos 2x + 4 sin^4 x = 8 cos^6 x$.

Выразим все тригонометрические функции через $cos x$.

Используем формулы $cos(2x) = 2cos^2 x - 1$ и $sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1-cos^2 x)^2 = 1 - 2cos^2 x + cos^4 x$.

Подставляем в уравнение:

$(2cos^2 x - 1) + 4(1 - 2cos^2 x + cos^4 x) = 8cos^6 x$.

$2cos^2 x - 1 + 4 - 8cos^2 x + 4cos^4 x = 8cos^6 x$.

$4cos^4 x - 6cos^2 x + 3 = 8cos^6 x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $8cos^6 x - 4cos^4 x + 6cos^2 x - 3 = 0$.

Сделаем замену $t = cos^2 x$. Учитывая, что $0 \le cos^2 x \le 1$, получаем $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $8t^3 - 4t^2 + 6t - 3 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(8t^3 - 4t^2) + (6t - 3) = 0$.

$4t^2(2t - 1) + 3(2t - 1) = 0$.

$(4t^2 + 3)(2t - 1) = 0$.

Рассмотрим два случая:

a) $4t^2 + 3 = 0 \implies t^2 = -3/4$. Так как $t = cos^2 x$ - действительное и неотрицательное число, то и $t^2$ должно быть неотрицательным. Это уравнение не имеет действительных решений.

b) $2t - 1 = 0 \implies t = 1/2$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

Производим обратную замену:

$cos^2 x = 1/2$.

Используем формулу понижения степени $\frac{1+cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$.

$1+cos(2x) = 1 \implies cos(2x) = 0$.

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3.26. 1) $\sin^2 3x + \sin^2 4x = \sin^2 5x + \sin^2 6x$;

2) $\cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} = \sin^2 2x + \sin^2 4x$;

3) $2 + \cos 4x = 5 \cos 2x + 8 \sin^6 x$;

4) $8 \sin^2 x + 6 \cos^2 x = 13 \sin 2x$.

1) $ \sin^2 3x + \sin^2 4x = \sin^2 5x + \sin^2 6x $

Для решения воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \frac{1 - \cos 6x}{2} + \frac{1 - \cos 8x}{2} = \frac{1 - \cos 10x}{2} + \frac{1 - \cos 12x}{2} $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ 1 - \cos 6x + 1 - \cos 8x = 1 - \cos 10x + 1 - \cos 12x $
$ 2 - \cos 6x - \cos 8x = 2 - \cos 10x - \cos 12x $
$ \cos 10x + \cos 12x = \cos 6x + \cos 8x $
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:
$ (\cos 12x - \cos 8x) + (\cos 10x - \cos 6x) = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin\frac{12x+8x}{2}\sin\frac{12x-8x}{2} -2\sin\frac{10x+6x}{2}\sin\frac{10x-6x}{2} = 0 $
$ -2\sin 10x \sin 2x - 2\sin 8x \sin 2x = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\sin 2x $ за скобки:
$ -2\sin 2x (\sin 10x + \sin 8x) = 0 $
Теперь применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2\sin 2x \left(2\sin\frac{10x+8x}{2}\cos\frac{10x-8x}{2}\right) = 0 $
$ -4\sin 2x \sin 9x \cos x = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin 9x = 0 \implies 9x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z} $
3. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
Заметим, что серия решений $ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{2} $ (при нечетных $n$).
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi k}{9}, n, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} = \sin^2 2x + \sin^2 4x $

Используем формулы понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \frac{1 + \cos x}{2} + \frac{1 + \cos 3x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 - \cos 8x}{2} $
Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos x + 1 + \cos 3x = 1 - \cos 4x + 1 - \cos 8x $
$ 2 + \cos x + \cos 3x = 2 - \cos 4x - \cos 8x $
$ \cos x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 8x = 0 $
Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ (\cos 3x + \cos x) + (\cos 8x + \cos 4x) = 0 $
$ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + 2\cos\frac{8x+4x}{2}\cos\frac{8x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 2x \cos x + 2\cos 6x \cos 2x = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\cos 2x $:
$ 2\cos 2x (\cos x + \cos 6x) = 0 $
Еще раз применим формулу суммы косинусов:
$ 2\cos 2x \left(2\cos\frac{6x+x}{2}\cos\frac{6x-x}{2}\right) = 0 $
$ 4\cos 2x \cos \frac{7x}{2} \cos \frac{5x}{2} = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos \frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 7x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $
3. $ \cos \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies 5x = \pi + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}, x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, n, k, m \in \mathbb{Z} $

3) $ 2 + \cos 4x = 5\cos 2x + 8\sin^6 x $

Приведем все функции к одному аргументу $ 2x $, используя формулы $ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 $ и $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $.
$ \sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^3 = \frac{(1 - \cos 2x)^3}{8} = \frac{1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x}{8} $
Подставим выражения в исходное уравнение:
$ 2 + (2\cos^2 2x - 1) = 5\cos 2x + 8 \cdot \frac{1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x}{8} $
$ 1 + 2\cos^2 2x = 5\cos 2x + 1 - 3\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x $
$ 1 + 2\cos^2 2x = 1 + 2\cos 2x + 3\cos^2 2x - \cos^3 2x $
Перенесем все в левую часть:
$ \cos^3 2x - \cos^2 2x - 2\cos 2x = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos 2x $:
$ t^3 - t^2 - 2t = 0 $
$ t(t^2 - t - 2) = 0 $
$ t(t-2)(t+1) = 0 $
Получаем три случая для $t$: $ t_1 = 0 $, $ t_2 = 2 $, $ t_3 = -1 $.
Возвращаемся к замене:
1. $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 2x = 2 $. Решений нет, так как $ |\cos \alpha| \le 1 $.
3. $ \cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ 8\sin^2 x + 6\cos^2 x = 13\sin 2x $

Преобразуем левую часть, используя $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$ 8\sin^2 x + 6(1-\sin^2 x) = 13\sin 2x $
$ 8\sin^2 x + 6 - 6\sin^2 x = 13\sin 2x $
$ 2\sin^2 x + 6 = 13\sin 2x $
Используем формулу двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ 2\sin^2 x + 6 = 13(2\sin x \cos x) $
$ 2\sin^2 x - 26\sin x \cos x + 6 = 0 $
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3 = 0 $
Заменим 3 на $ 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $, чтобы получить однородное уравнение:
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $
$ \sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3\sin^2 x + 3\cos^2 x = 0 $
$ 4\sin^2 x - 13\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 $
Заметим, что $ \cos x \ne 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ 4\sin^2 x = 0 $, то есть $ \sin x = 0 $, что невозможно одновременно с $ \cos x = 0 $.
Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:
$ 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 13\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $
$ 4\tan^2 x - 13\tan x + 3 = 0 $
Сделаем замену $ t = \tan x $:
$ 4t^2 - 13t + 3 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2 $.
$ t = \frac{13 \pm 11}{8} $
$ t_1 = \frac{13+11}{8} = \frac{24}{8} = 3 $
$ t_2 = \frac{13-11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Возвращаемся к замене:
1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2. $ \tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan \frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \arctan 3 + \pi n, x = \arctan \frac{1}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

3.27. Решите уравнение методом разложения на множители:

1) $\sin(ax + b) = \sin(cx + d);$

2) $\sin(ax + b) = \cos(cx + d);$

3) $\cos 3x + \sin 5x = 0;$

4) $\sin x \cos 5x = \sin 9x \cdot \cos 3x;$

5) $\cos^3 x + \sin^3 x = \cos 2x;$

6) $\sin ax \cdot \sin bx = \cos cx \cdot \cos dx, a - b = c - d.$

1) Перенесем все члены в одну сторону уравнения: $ \sin(ax+b) - \sin(cx+d) = 0 $.
Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{(ax+b)-(cx+d)}{2}\cos\frac{(ax+b)+(cx+d)}{2} = 0 $
$ \sin\frac{(a-c)x + b-d}{2}\cos\frac{(a+c)x + b+d}{2} = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1. $ \sin\frac{(a-c)x + b-d}{2} = 0 $
$ \frac{(a-c)x + b-d}{2} = k\pi $, где $ k \in Z $
$ (a-c)x + b-d = 2k\pi $
При $ a \ne c $: $ x = \frac{2k\pi - b + d}{a-c} $
2. $ \cos\frac{(a+c)x + b+d}{2} = 0 $
$ \frac{(a+c)x + b+d}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in Z $
$ (a+c)x + b+d = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi $
При $ a \ne -c $: $ x = \frac{(2n+1)\pi - b - d}{a+c} $
Ответ: $ x = \frac{2k\pi + d - b}{a-c} $, $ x = \frac{(2n+1)\pi - b - d}{a+c} $, где $ k, n \in Z $ (при $ a^2 \ne c^2 $).

2) Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin(ax+b) = \sin(\frac{\pi}{2} - (cx+d)) $
$ \sin(ax+b) - \sin(\frac{\pi}{2} - cx - d) = 0 $
Применим формулу разности синусов, как в предыдущем пункте:
$ 2\sin\frac{(ax+b)-(\frac{\pi}{2}-cx-d)}{2}\cos\frac{(ax+b)+(\frac{\pi}{2}-cx-d)}{2} = 0 $
$ \sin\frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin\frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
$ \frac{(a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2}}{2} = k\pi $, где $ k \in Z $
$ (a+c)x + b+d - \frac{\pi}{2} = 2k\pi $
При $ a \ne -c $: $ x = \frac{2k\pi + \frac{\pi}{2} - b - d}{a+c} = \frac{(4k+1)\pi/2 - b - d}{a+c} $
2. $ \cos\frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = 0 $
$ \frac{(a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in Z $
$ (a-c)x + b-d + \frac{\pi}{2} = \pi + 2n\pi $
При $ a \ne c $: $ x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2n\pi - b + d}{a-c} = \frac{(4n+1)\pi/2 - b + d}{a-c} $
Ответ: $ x = \frac{(4k+1)\pi/2 - b - d}{a+c} $, $ x = \frac{(4n+1)\pi/2 - b + d}{a-c} $, где $ k, n \in Z $ (при $ a^2 \ne c^2 $).

3) Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin(\frac{\pi}{2}-3x) + \sin(5x) = 0 $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{(\frac{\pi}{2}-3x)+5x}{2}\cos\frac{(\frac{\pi}{2}-3x)-5x}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\frac{\pi}{2}+2x}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2}-8x}{2} = 0 $
$ \sin(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-4x) = 0 $
Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, то $ \cos(\frac{\pi}{4}-4x) = \cos(4x-\frac{\pi}{4}) $.
$ \sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(4x-\frac{\pi}{4}) = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin(x+\frac{\pi}{4}) = 0 $
$ x+\frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in Z $
2. $ \cos(4x-\frac{\pi}{4}) = 0 $
$ 4x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies 4x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \implies x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} $, где $ k, n \in Z $.

4) Применим формулу произведения синуса на косинус $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)) $:
Левая часть: $ \sin x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(x+5x)+\sin(x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) $
Правая часть: $ \sin 9x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(9x+3x)+\sin(9x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $
Приравниваем обе части:
$ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $
$ \sin 6x - \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x $
$ -\sin 4x = \sin 12x \implies \sin 12x + \sin 4x = 0 $
Применяем формулу суммы синусов:
$ 2\sin\frac{12x+4x}{2}\cos\frac{12x-4x}{2} = 0 $
$ \sin 8x \cos 4x = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \sin 8x = 0 \implies 8x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in Z $
2. $ \cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} = \frac{(2n+1)\pi}{8} $, где $ n \in Z $
Вторая серия решений является подмножеством первой (при нечетных $ k $). Следовательно, достаточно указать только первую серию.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in Z $.

5) Разложим левую часть по формуле суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Правую часть разложим по формуле косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $.
$ (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:
$ (\cos x + \sin x)(1 - \frac{1}{2}\sin 2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $:
$ (\cos x + \sin x) \left( (1 - \frac{1}{2}\sin 2x) - (\cos x - \sin x) \right) = 0 $
$ (\cos x + \sin x) (1 - \sin x \cos x - \cos x + \sin x) = 0 $
Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $ (1-\cos x) + (\sin x - \sin x \cos x) = (1-\cos x) + \sin x(1-\cos x) = (1-\cos x)(1+\sin x) $.
Уравнение принимает вид:
$ (\cos x + \sin x)(1 - \cos x)(1 + \sin x) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1. $ \cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, где $ k \in Z $
2. $ 1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2n\pi $, где $ n \in Z $
3. $ 1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi $, где $ m \in Z $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $, $ x = 2n\pi $, $ x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi $, где $ k, n, m \in Z $.

6) Применим формулы преобразования произведения в сумму/разность:
$ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $
$ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $
Левая часть: $ \sin(ax)\sin(bx) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x) - \cos((a+b)x)) $
Правая часть: $ \cos(cx)\cos(dx) = \frac{1}{2}(\cos((c+d)x) + \cos((c-d)x)) $
Приравниваем и умножаем на 2:
$ \cos((a-b)x) - \cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) + \cos((c-d)x) $
По условию $ a-b = c-d $. Подставим это в уравнение:
$ \cos((a-b)x) - \cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) + \cos((a-b)x) $
$ -\cos((a+b)x) = \cos((c+d)x) $
$ \cos((a+b)x) + \cos((c+d)x) = 0 $
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\cos\frac{(a+b)x+(c+d)x}{2}\cos\frac{(a+b)x-(c+d)x}{2} = 0 $
$ \cos\frac{(a+b+c+d)x}{2}\cos\frac{(a+b-c-d)x}{2} = 0 $
Получаем совокупность уравнений:
1. $ \cos\frac{(a+b+c+d)x}{2} = 0 $
$ \frac{(a+b+c+d)x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{a+b+c+d} $, где $ k \in Z $
2. $ \cos\frac{(a+b-c-d)x}{2} = 0 $
$ \frac{(a+b-c-d)x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{a+b-c-d} $, где $ n \in Z $
Ответ: $ x = \frac{(2k+1)\pi}{a+b+c+d} $, $ x = \frac{(2n+1)\pi}{a+b-c-d} $, где $ k, n \in Z $ (при условии, что знаменатели не равны нулю).

3.28. Решите уравнение методом разложения на множители:

1) $ (\cos 2x - \cos 4x)^2 = 4 + \cos^2 3x $;

2) $ \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 3 $.

1) $(\cos 2x - \cos 4x)^2 = 4 + \cos^2 3x$

Перенесем $\cos^2 3x$ в левую часть уравнения:

$(\cos 2x - \cos 4x)^2 - \cos^2 3x = 4$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos 2x - \cos 4x = -2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = -2\sin(3x)\sin(-x) = 2\sin x \sin 3x$

Подставим это выражение в уравнение:

$(2\sin x \sin 3x)^2 - \cos^2 3x = 4$

$4\sin^2 x \sin^2 3x - \cos^2 3x = 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$4\sin^2 x (1 - \cos^2 3x) - \cos^2 3x = 4$

Раскроем скобки:

$4\sin^2 x - 4\sin^2 x \cos^2 3x - \cos^2 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$(4\sin^2 x - 4) - (4\sin^2 x \cos^2 3x + \cos^2 3x) = 0$

$4(\sin^2 x - 1) - \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Так как $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$, получаем:

$-4\cos^2 x - \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Умножим обе части на -1:

$4\cos^2 x + \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0$

Рассмотрим полученное уравнение. Первое слагаемое $4\cos^2 x \ge 0$. Второе слагаемое является произведением двух неотрицательных множителей: $\cos^2 3x \ge 0$ и $4\sin^2 x + 1 \ge 1$ (так как $\sin^2 x \ge 0$). Следовательно, второе слагаемое также неотрицательно.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} 4\cos^2 x = 0 \\ \cos^2 3x (4\sin^2 x + 1) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1$. Подставим это значение во второе уравнение системы:

$\cos^2 3x (4 \cdot 1 + 1) = 0$

$5\cos^2 3x = 0$

$\cos 3x = 0$

Проверим, выполняется ли условие $\cos 3x = 0$ для найденных значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:

$3x = 3(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$

$\cos(3x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = 0$ для любого целого $k$.

Таким образом, решения уравнения $\cos x = 0$ удовлетворяют всей системе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 3$

Для любого действительного числа $t$ значение функции синус не превышает 1, то есть $\sin t \le 1$.

Таким образом, для левой части уравнения справедлива оценка:

$\sin 2x \le 1$

$\sin 3x \le 1$

$\sin 4x \le 1$

Сумма этих трех выражений будет равна 3 только в том случае, когда каждое из слагаемых равно 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = 1 \\ \sin 3x = 1 \\ \sin 4x = 1 \end{cases}$

Решим первые два уравнения системы. Из первого уравнения $\sin 2x = 1$ получаем:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Из второго уравнения $\sin 3x = 1$ получаем:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Чтобы система имела решение, необходимо найти такие целые числа $k$ и $n$, при которых значения $x$ совпадают:

$\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{1}{4} + k = \frac{1}{6} + \frac{2n}{3}$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot \frac{1}{4} + 12k = 12 \cdot \frac{1}{6} + 12 \cdot \frac{2n}{3}$

$3 + 12k = 2 + 8n$

$12k - 8n = 2 - 3$

$12k - 8n = -1$

$4(3k - 2n) = -1$

В левой части уравнения стоит целое число, кратное 4, так как $k$ и $n$ — целые числа. В правой части стоит -1. Так как -1 не делится на 4, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Поскольку уже первые два уравнения системы не имеют общих решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3.29. Покажите, что уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решения, если $a > 1$.

Для того чтобы доказать, что уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решения при $a > 1$, мы оценим максимальное значение выражения в левой части уравнения.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = \sin^4 x + \cos^6 x$.

Мы знаем, что для любого действительного числа $x$ значения $\sin x$ и $\cos x$ лежат в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, их квадраты, $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$, лежат в диапазоне от 0 до 1.

Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то при возведении этого числа в квадрат его значение не увеличится. То есть, $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 \le \sin^2 x$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $\sin^2 x = 0$ или $\sin^2 x = 1$.

Аналогично, поскольку $0 \le \cos^2 x \le 1$, то при возведении этого числа в куб его значение также не увеличится. То есть, $\cos^6 x = (\cos^2 x)^3 \le \cos^2 x$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $\cos^2 x = 0$ или $\cos^2 x = 1$.

Сложим полученные неравенства:

$\sin^4 x + \cos^6 x \le \sin^2 x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательную оценку для левой части уравнения:

$\sin^4 x + \cos^6 x \le 1$

Это неравенство показывает, что максимальное значение выражения $\sin^4 x + \cos^6 x$ равно 1. Это значение достигается, например, при $x=0$ (когда $\sin x = 0, \cos x = 1$) или при $x = \frac{\pi}{2}$ (когда $\sin x = 1, \cos x = 0$).

Таким образом, для любого действительного значения $x$ левая часть исходного уравнения не может быть больше 1. В то же время, по условию задачи, правая часть уравнения $a$ строго больше 1 ($a > 1$).

Следовательно, равенство $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ при $a > 1$ невозможно, так как левая часть всегда меньше или равна 1, а правая — строго больше 1.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку максимальное значение выражения $\sin^4 x + \cos^6 x$ равно 1, уравнение $\sin^4 x + \cos^6 x = a$ не имеет решений при $a > 1$.

3.30. Покажите, что уравнение $\sin 5x \cdot \sin 7x = 1$ не имеет решения.

Для доказательства того, что уравнение $ \sin 5x \cdot \sin 7x = 1 $ не имеет решений, преобразуем произведение синусов в разность косинусов, используя тригонометрическую формулу:

$ \sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к левой части нашего уравнения, положив $ \alpha = 7x $ и $ \beta = 5x $:

$ \sin 7x \cdot \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) - \cos(7x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 12x) $

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$ \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 12x) = 1 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos 2x - \cos 12x = 2 $

Проанализируем полученное равенство. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых действительных значений аргумента выполняются неравенства:

$ -1 \le \cos 2x \le 1 $

$ -1 \le \cos 12x \le 1 $

Разность $ \cos 2x - \cos 12x $ может достичь своего максимального значения, равного 2, только в одном единственном случае: когда $ \cos 2x $ принимает свое наибольшее значение, а $ \cos 12x $ — свое наименьшее. То есть, должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} \cos 2x = 1 \\ \cos 12x = -1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Отсюда находим $ x $:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь подставим это решение во второе уравнение системы, чтобы проверить, может ли оно выполняться при таких значениях $ x $:

$ \cos(12x) = \cos(12 \cdot \pi k) = \cos(12\pi k) $

Поскольку $ 12k $ является четным целым числом для любого целого $ k $, аргумент косинуса $ 12\pi k $ является четным кратным числа $ \pi $. Известно, что косинус от четного кратного $ \pi $ всегда равен 1. Таким образом, мы получаем:

$ \cos(12\pi k) = 1 $

Однако второе уравнение нашей системы требует, чтобы $ \cos 12x $ был равен -1. Мы пришли к противоречию:

$ 1 = -1 $

Это противоречие означает, что система уравнений несовместна, то есть не существует такого значения $ x $, при котором оба условия выполнялись бы одновременно. Следовательно, уравнение $ \cos 2x - \cos 12x = 2 $ не имеет решений, а значит, и равносильное ему исходное уравнение $ \sin 5x \cdot \sin 7x = 1 $ также не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений. После преобразования оно приводится к виду $ \cos 2x - \cos 12x = 2 $, что возможно только при одновременном выполнении условий $ \cos 2x = 1 $ и $ \cos 12x = -1 $. Данная система уравнений несовместна, что и доказывает отсутствие решений у исходного уравнения.

3.31. При каких действительных значениях $a$ уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет решения? Найдите их.

При каких действительных значениях a уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет решения?

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения, $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Преобразуем это выражение.

Используя формулу квадрата суммы $u^2+v^2=(u+v)^2-2uv$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.

Далее применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2(2x)$. Подставив это в наше выражение, получим:

$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)$.

Теперь найдем область значений этой функции. Поскольку для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2(2x) \le 1$, мы можем найти границы для значений $f(x)$:

Максимальное значение функции достигается при $\sin^2(2x) = 0$: $f_{max} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$.

Минимальное значение функции достигается при $\sin^2(2x) = 1$: $f_{min} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, уравнение имеет решения при $a$, принадлежащем отрезку $[\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Найдите их.

Для $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ найдем корни уравнения $\sin^4 x + \cos^4 x = a$. Как было показано выше, это уравнение эквивалентно следующему:

$1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = a$.

Выразим из него $\sin^2(2x)$:

$\frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - a \implies \sin^2(2x) = 2(1 - a)$.

Чтобы найти $x$, воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2(1 - a)$,

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = 2(1 - a)$.

Отсюда $\cos(4x) = 1 - 4(1 - a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Окончательно получаем решения для $x$, разделив обе части на 4:

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ решениями уравнения являются $x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для других значений $a$ решений нет.

В заданиях 3.32–3.36 решите уравнения.

3. 32.

1) $2 \cos 2x = \sqrt{6} (\cos x - \sin x)$;

2) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2x$;

3) $\operatorname{tg} x + \sin 2x = \frac{1}{\cos x}$;

4) $2 \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x$.

1) $2\cos{2x} = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} $.

$2(\cos^2{x} - \sin^2{x}) = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Разложим левую часть как разность квадратов: $ \cos^2{x} - \sin^2{x} = (\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) $.

$2(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) = \sqrt{6}(\cos{x} - \sin{x})$

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ (\cos{x} - \sin{x}) $ за скобки.

$(\cos{x} - \sin{x})(2(\cos{x} + \sin{x}) - \sqrt{6}) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos{x} - \sin{x} = 0 $

б) $ 2(\cos{x} + \sin{x}) - \sqrt{6} = 0 $

Решим уравнение (а):

$ \cos{x} = \sin{x} $. Если $ \cos{x} = 0 $, то и $ \sin{x} = 0 $, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части на $ \cos{x} \neq 0 $.

$ \text{tg}\,{x} = 1 $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение (б):

$ \cos{x} + \sin{x} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Используем метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{x} + \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2} $

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Тогда $ x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Получаем две серии решений:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi+2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi-2\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \ x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k; \ x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $ \sin^3{x} + \cos^3{x} = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Используем формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ для левой части.

$ (\sin{x}+\cos{x})(\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}) = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Так как $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $ и $ \sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x} $, уравнение принимает вид:

$ (\sin{x}+\cos{x})(1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) = 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} $

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) $.

$ (\sin{x}+\cos{x})(1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) - (1 - \frac{1}{2}\sin{2x}) = 0 $

$ (1 - \frac{1}{2}\sin{2x})(\sin{x}+\cos{x}-1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ 1 - \frac{1}{2}\sin{2x} = 0 $

б) $ \sin{x}+\cos{x}-1 = 0 $

Решим уравнение (а):

$ \sin{2x} = 2 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $ [-1, 1] $.

Решим уравнение (б):

$ \sin{x}+\cos{x} = 1 $

Используем метод вспомогательного угла.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}) = 1 $

$ \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{x}) = 1 $

$ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Получаем совокупность решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = 2\pi n; \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $ \text{tg}\,{x} + \sin{2x} = \frac{1}{\cos{x}} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos{x} \neq 0 $, откуда $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Заменим $ \text{tg}\,{x} $ на $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $ и $ \sin{2x} $ на $ 2\sin{x}\cos{x} $.

$ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} + 2\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{\cos{x}} $

Умножим обе части уравнения на $ \cos{x} $ (так как по ОДЗ $ \cos{x} \neq 0 $).

$ \sin{x} + 2\sin{x}\cos^2{x} = 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} $.

$ \sin{x} + 2\sin{x}(1-\sin^2{x}) = 1 $

$ \sin{x} + 2\sin{x} - 2\sin^3{x} = 1 $

$ 2\sin^3{x} - 3\sin{x} + 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin{x} $, где $ |t| \le 1 $.

$ 2t^3 - 3t + 1 = 0 $

Заметим, что $ t=1 $ является корнем уравнения: $ 2(1)^3 - 3(1) + 1 = 0 $.

Разделим многочлен $ 2t^3 - 3t + 1 $ на $ (t-1) $. Получим $ 2t^2+2t-1 $.

$ (t-1)(2t^2+2t-1) = 0 $

Отсюда $ t=1 $ или $ 2t^2+2t-1=0 $.

Если $ t=1 $, то $ \sin{x} = 1 $. Это соответствует $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $. Но эти значения не входят в ОДЗ ($ \cos{x}=0 $), поэтому $ t=1 $ - посторонний корень.

Решим квадратное уравнение $ 2t^2+2t-1=0 $:

$ D = 2^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12 $

$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} $

Получаем два значения для $ \sin{x} $:

а) $ \sin{x} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx -1.366 $. Это значение меньше -1, поэтому решений нет.

б) $ \sin{x} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $. Это значение находится в интервале $ [-1, 1] $, поэтому решения есть.

$ x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi n; \ x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}-1}{2}) + 2\pi k, \ n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $ 2\text{tg}\,{x} + \text{tg}\,{2x} = \text{tg}\,{4x} $

ОДЗ: $ \cos{x} \neq 0, \cos{2x} \neq 0, \cos{4x} \neq 0 $.

$ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n; \ x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}; \ x \neq \frac{\pi}{8}+\frac{\pi m}{4}, \ n,k,m \in \mathbb{Z} $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \text{tg}\,{4x} - \text{tg}\,{2x} = 2\text{tg}\,{x} $

Применим формулу разности тангенсов $ \text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.

$ \frac{\sin(4x-2x)}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\text{tg}\,{x} $

$ \frac{\sin{2x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

Используем формулу $ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $.

$ \frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = 2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

Возможны два случая:

а) $ \sin{x} = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Проверим ОДЗ: $ \cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0, \cos(2\pi k) = 1 \neq 0, \cos(4\pi k)=1 \neq 0 $. Эти корни подходят.

б) $ \sin{x} \neq 0 $. Можно разделить обе части на $ 2\sin{x} $.

$ \frac{\cos{x}}{\cos{4x}\cos{2x}} = \frac{1}{\cos{x}} $

$ \cos^2{x} = \cos{4x}\cos{2x} $

Используем формулы $ \cos^2{x} = \frac{1+\cos{2x}}{2} $ и $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \frac{1+\cos{2x}}{2} = (2\cos^2{2x}-1)\cos{2x} $

Сделаем замену $ t = \cos{2x} $.

$ \frac{1+t}{2} = (2t^2-1)t $

$ 1+t = 4t^3 - 2t $

$ 4t^3 - 3t - 1 = 0 $

Заметим, что $ t=1 $ является корнем: $ 4(1)^3-3(1)-1=0 $.

Разделив многочлен на $ (t-1) $, получим $ 4t^2+4t+1 = (2t+1)^2 $.

$ (t-1)(2t+1)^2 = 0 $

Получаем два решения для $ t $:

1. $ t=1 \implies \cos{2x}=1 \implies 1-2\sin^2{x}=1 \implies \sin^2{x}=0 \implies \sin{x}=0 $. Это возвращает нас к случаю (а), $ x = \pi k $.

2. $ t = -\frac{1}{2} \implies \cos{2x} = -\frac{1}{2} $.

$ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ. Объединим все найденные серии решений: $ x = \pi k $ и $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m $.

Все эти решения можно записать одной формулой: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.