Номер 3.30, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Покажите, что уравнение $\sin 5x \cdot \sin 7x = 1$ не имеет решения.

Для доказательства того, что уравнение $ \sin 5x \cdot \sin 7x = 1 $ не имеет решений, преобразуем произведение синусов в разность косинусов, используя тригонометрическую формулу:

$ \sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к левой части нашего уравнения, положив $ \alpha = 7x $ и $ \beta = 5x $:

$ \sin 7x \cdot \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) - \cos(7x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 12x) $

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$ \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 12x) = 1 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos 2x - \cos 12x = 2 $

Проанализируем полученное равенство. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых действительных значений аргумента выполняются неравенства:

$ -1 \le \cos 2x \le 1 $

$ -1 \le \cos 12x \le 1 $

Разность $ \cos 2x - \cos 12x $ может достичь своего максимального значения, равного 2, только в одном единственном случае: когда $ \cos 2x $ принимает свое наибольшее значение, а $ \cos 12x $ — свое наименьшее. То есть, должны одновременно выполняться два условия:

$ \begin{cases} \cos 2x = 1 \\ \cos 12x = -1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Отсюда находим $ x $:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь подставим это решение во второе уравнение системы, чтобы проверить, может ли оно выполняться при таких значениях $ x $:

$ \cos(12x) = \cos(12 \cdot \pi k) = \cos(12\pi k) $

Поскольку $ 12k $ является четным целым числом для любого целого $ k $, аргумент косинуса $ 12\pi k $ является четным кратным числа $ \pi $. Известно, что косинус от четного кратного $ \pi $ всегда равен 1. Таким образом, мы получаем:

$ \cos(12\pi k) = 1 $

Однако второе уравнение нашей системы требует, чтобы $ \cos 12x $ был равен -1. Мы пришли к противоречию:

$ 1 = -1 $

Это противоречие означает, что система уравнений несовместна, то есть не существует такого значения $ x $, при котором оба условия выполнялись бы одновременно. Следовательно, уравнение $ \cos 2x - \cos 12x = 2 $ не имеет решений, а значит, и равносильное ему исходное уравнение $ \sin 5x \cdot \sin 7x = 1 $ также не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений. После преобразования оно приводится к виду $ \cos 2x - \cos 12x = 2 $, что возможно только при одновременном выполнении условий $ \cos 2x = 1 $ и $ \cos 12x = -1 $. Данная система уравнений несовместна, что и доказывает отсутствие решений у исходного уравнения.