Номер 3.23, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. При каких значениях $a$ уравнение $\cos^2 x \cos 2x + a(\cos^4 x - \sin^4 x) = (2a+1)^2$ имеет решения?

Найдите эти решения.

Сначала преобразуем исходное уравнение. Используем формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество:

$cos⁴x - sin⁴x = (cos²x - sin²x)(cos²x + sin²x) = cos(2x) \cdot 1 = cos(2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos²x \cdot cos(2x) + a \cdot cos(2x) = (2a + 1)²$.

Вынесем $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x)(cos²x + a) = (2a + 1)²$.

Теперь используем формулу понижения степени для косинуса: $cos²x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$cos(2x) \left( \frac{1 + cos(2x)}{2} + a \right) = (2a + 1)²$.

Для упрощения введем замену $t = cos(2x)$. Так как область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$. Уравнение принимает вид:

$t \left( \frac{1 + t}{2} + a \right) = (2a + 1)²$.

Умножим обе части на 2 и преобразуем уравнение:

$t(1 + t + 2a) = 2(2a + 1)²$

$t² + t(1 + 2a) - 2(2a + 1)² = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Исходное тригонометрическое уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t$ на отрезке $[-1, 1]$.

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (1 + 2a)² - 4 \cdot 1 \cdot (-2(2a + 1)²) = (2a + 1)² + 8(2a + 1)² = 9(2a + 1)²$.

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-(1 + 2a) \pm \sqrt{9(2a + 1)²}}{2} = \frac{-(2a + 1) \pm 3|2a + 1|}{2}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Независимо от знака выражения $2a+1$, корнями уравнения являются $t_1 = 2a + 1$ и $t_2 = -2(2a + 1)$.

При каких значениях a уравнение имеет решения?

Уравнение имеет решения, если хотя бы один из корней, $t_1$ или $t_2$, принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

1. Рассмотрим условие $t_1 \in [-1, 1]$:

$-1 \le 2a + 1 \le 1$

$-2 \le 2a \le 0$

$-1 \le a \le 0$.

2. Рассмотрим условие $t_2 \in [-1, 1]$:

$-1 \le -2(2a + 1) \le 1$

Разделим неравенство на -2, изменив знаки на противоположные:

$-\frac{1}{2} \le 2a + 1 \le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} - 1 \le 2a \le \frac{1}{2} - 1$

$-\frac{3}{2} \le 2a \le -\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{4} \le a \le -\frac{1}{4}$.

Исходное уравнение будет иметь решения, если значение параметра $a$ принадлежит объединению найденных промежутков: $a \in [-1, 0] \cup [-3/4, -1/4]$.

Поскольку отрезок $[-3/4, -1/4]$ полностью содержится в отрезке $[-1, 0]$, их объединением является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [-1, 0]$.

Найдите эти решения.

Решения $x$ находятся из уравнений $cos(2x) = t_1$ и $cos(2x) = t_2$ для тех значений $a$, при которых корни $t_1$ и $t_2$ находятся в отрезке $[-1, 1]$.

Совокупность решений зависит от значения $a$ в пределах найденного отрезка $[-1, 0]$.

1. Если $a \in [-1, -3/4) \cup (-1/4, 0]$, то только корень $t_1 = 2a+1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$ (а корень $t_2$ не принадлежит). Решения в этом случае определяются уравнением $cos(2x) = 2a+1$.

2. Если $a \in [-3/4, -1/4]$, то оба корня, $t_1 = 2a+1$ и $t_2 = -2(2a+1)$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Решениями будет объединение решений двух уравнений: $cos(2x) = 2a+1$ и $cos(2x) = -2(2a+1)$.

Ответ:
При $a \in [-1, 0]$ решения существуют.
Если $a \in [-1, -3/4) \cup (-1/4, 0]$, то решения задаются формулой:
$x = \pm \frac{1}{2} \arccos(2a + 1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Если $a \in [-3/4, -1/4]$, то решениями является совокупность двух серий:
$x = \pm \frac{1}{2} \arccos(2a + 1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$,
$x = \pm \frac{1}{2} \arccos(-2(2a + 1)) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.