Номер 3.20, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20. 1) $ \sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1; $

2) $ \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x = 1; $

3) $ 5(\sin x + \cos x) + \sin 3x - \cos 3x = 2\sqrt{2} (2 + \sin 2x); $

4) $ \sin x + \cos x - 2\sqrt{2} \sin x \cos x = 0. $

1) $\sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1$

Это уравнение является симметричным относительно $\sin x$ и $\cos x$. Решим его с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Также определим область значений для $t$. Выражение $\sin x + \cos x$ можно преобразовать: $t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Так как $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то область значений для $t$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t + \frac{t^2 - 1}{2} = 1$

Умножим уравнение на 2:

$2t + t^2 - 1 = 2$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета или через дискриминант получаем: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли корни области значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

$t_1 = 1 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

$t_2 = -3 \notin [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sin x + \cos x = 1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это уравнение имеет две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x - 2\sin x \cos x = 1$

Используем ту же замену: $t = \sin x + \cos x$. Тогда $2\sin x \cos x = t^2 - 1$. Область значений для $t$ — $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Подставим в уравнение:

$t - (t^2 - 1) = 1$

$t - t^2 + 1 = 1$

$t - t^2 = 0$

$t(1 - t) = 0$

Получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$.

Оба корня принадлежат области допустимых значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sin x + \cos x = 1$. Это уравнение было решено в задаче 1. Его решения: $x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $t = 0$.

$\sin x + \cos x = 0$

$\sin x = -\cos x$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению. Значит, $\cos x \neq 0$ и мы можем разделить обе части на $\cos x$:

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, k, n, m \in \mathbb{Z}$.

3) $5(\sin x + \cos x) + \sin 3x - \cos 3x = 2\sqrt{2}(2 + \sin 2x)$

Сделаем замену $t = \sin x + \cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Тогда $\sin 2x = 2\sin x \cos x = t^2 - 1$.

Преобразуем выражение $\sin 3x - \cos 3x$. Используя формулы тройного угла и суммы кубов, получаем:

$\sin 3x - \cos 3x = (3\sin x - 4\sin^3 x) - (4\cos^3 x - 3\cos x) = 3(\sin x + \cos x) - 4(\sin^3 x + \cos^3 x) = 3(\sin x + \cos x) - 4(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$.

Подставляя $t$ и $\sin x \cos x = \frac{t^2-1}{2}$, имеем:

$\sin 3x - \cos 3x = 3t - 4t(1 - \frac{t^2 - 1}{2}) = 3t - 2t(3 - t^2) = 2t^3 - 3t$.

Подставим все в исходное уравнение:

$5t + (2t^3 - 3t) = 2\sqrt{2}(2 + (t^2 - 1))$

$2t^3 + 2t = 2\sqrt{2}(t^2 + 1)$

$2t(t^2 + 1) = 2\sqrt{2}(t^2 + 1)$

Поскольку $t^2 + 1 > 0$ для всех действительных $t$, мы можем разделить обе части на $2(t^2 + 1)$:

$t = \sqrt{2}$

Корень принадлежит области допустимых значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x + \cos x - 2\sqrt{2}\sin x \cos x = 0$

Введем замену $t = \sin x + \cos x$, где $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Тогда $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Подставляем в уравнение:

$t - 2\sqrt{2}\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) = 0$

$t - \sqrt{2}(t^2 - 1) = 0$

$t - \sqrt{2}t^2 + \sqrt{2} = 0$

$\sqrt{2}t^2 - t - \sqrt{2} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-1)^2 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{1 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$t_2 = \frac{1 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Оба корня, $t_1 = \sqrt{2}$ и $t_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, принадлежат области допустимых значений $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = \sqrt{2}$.

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Решение этого уравнения (см. задачу 3): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sin x + \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

Получаем две серии решений:

a) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

b) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n, x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi m, k, n, m \in \mathbb{Z}$.