Номер 3.14, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. 1) $2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x - \sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0;$

2) $2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0.$

1) $2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x - \sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Для его решения применим метод группировки слагаемых:
$(2\sin^3 x + 2\cos x \sin^2 x) - (\sin x \cos^2 x + \cos^3 x) = 0$
$2\sin^2 x (\sin x + \cos x) - \cos^2 x (\sin x + \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:
$(\sin x + \cos x)(2\sin^2 x - \cos^2 x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

а) $\sin x + \cos x = 0$
Заметим, что в этом уравнении $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 x - \cos^2 x = 0$
Аналогично, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1 = 0$
$2\tan^2 x = 1$
$\tan^2 x = \frac{1}{2}$
$\tan x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \arctan\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$, что также можно записать как $x = -\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Сгруппируем слагаемые:
$(2\sin^3 x - \sin^2 x \cos x) + (2\sin x \cos^2 x - \cos^3 x) = 0$
$\sin^2 x (2\sin x - \cos x) + \cos^2 x (2\sin x - \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(2\sin x - \cos x)$ за скобки:
$(2\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:
$(2\sin x - \cos x) \cdot 1 = 0$
$2\sin x - \cos x = 0$
$2\sin x = \cos x$
Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения $2\sin x = \cos x$ следует, что $2\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно быть равными нулю. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на него:
$2\frac{\sin x}{\cos x} = 1$
$2\tan x = 1$
$\tan x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.