Номер 3.15, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. Решите уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a(\sin^4 x + \cos^4 x)$ при всех действительных значениях параметра $a$.

В упражнениях 3.16, 3.17 решите уравнения методом введения дополнительных углов.

Для решения данного уравнения с параметром $a$ преобразуем его левую и правую части, выразив их через одну тригонометрическую функцию.

Сначала преобразуем выражение $sin^4 x + cos^4 x$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$.

$sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x)^2 + (cos^2 x)^2 = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x = 1^2 - 2sin^2 x cos^2 x.$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, получим $sin^2 x cos^2 x = \frac{1}{4}sin^2(2x)$.

Таким образом, $sin^4 x + cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, $sin^6 x + cos^6 x$, используя формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$, где $A = sin^2 x$ и $B = cos^2 x$.

$sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x)^3 + (cos^2 x)^3 = (sin^2 x + cos^2 x)(sin^4 x - sin^2 x cos^2 x + cos^4 x).$

Поскольку $sin^2 x + cos^2 x = 1$ и мы уже нашли выражение для $sin^4 x + cos^4 x$, подставим их:

$sin^6 x + cos^6 x = 1 \cdot ((sin^4 x + cos^4 x) - sin^2 x cos^2 x) = (1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)) - \frac{1}{4}sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}sin^2(2x).$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$1 - \frac{3}{4}sin^2(2x) = a \left(1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)\right).$

Для удобства введем замену $y = sin^2(2x)$. Учитывая свойства функции синус, $0 \le sin(2x) \le 1$ и $-1 \le sin(2x) \le 1$, для $y = sin^2(2x)$ справедливо неравенство $0 \le y \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$1 - \frac{3}{4}y = a(1 - \frac{1}{2}y).$

Выразим $y$ через $a$:

$1 - \frac{3}{4}y = a - \frac{a}{2}y$

$y(\frac{a}{2} - \frac{3}{4}) = a - 1$

$y\left(\frac{2a - 3}{4}\right) = a - 1$

$y(2a - 3) = 4(a - 1).$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2a - 3 = 0$, то есть $a = \frac{3}{2}$.

Уравнение принимает вид $y \cdot 0 = 4(\frac{3}{2} - 1) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Получаем $0 = 2$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = \frac{3}{2}$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: $2a - 3 \ne 0$, то есть $a \ne \frac{3}{2}$.

В этом случае $y = \frac{4(a - 1)}{2a - 3}$.

Для существования решений $x$ необходимо, чтобы значение $y$ удовлетворяло условию $0 \le y \le 1$.

$0 \le \frac{4(a - 1)}{2a - 3} \le 1.$

Эта двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1) $\frac{4(a - 1)}{2a - 3} \ge 0 \implies \frac{a - 1}{2a - 3} \ge 0$.

2) $\frac{4(a - 1)}{2a - 3} \le 1$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=1$ и $a=3/2$. Расставляя знаки на числовой оси, получаем решение $a \in (-\infty, 1] \cup (3/2, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{4(a - 1)}{2a - 3} - 1 \le 0 \implies \frac{4a - 4 - (2a - 3)}{2a - 3} \le 0 \implies \frac{2a - 1}{2a - 3} \le 0$.

Методом интервалов с нулями $a=1/2$ и $a=3/2$ получаем решение $a \in [1/2, 3/2)$.

Решением системы является пересечение найденных множеств: $( (-\infty, 1] \cup (3/2, +\infty) ) \cap [1/2, 3/2)$.

Пересечение этих множеств дает отрезок $a \in [1/2, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет решения только при $a \in [1/2, 1]$. При таких значениях $a$ мы решаем уравнение $sin^2(2x) = \frac{4(a - 1)}{2a - 3}$.

$sin(2x) = \pm\sqrt{\frac{4(a - 1)}{2a - 3}} = \pm 2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}$.

Отсюда находим $x$:

$2x = \pm \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \pi n$, где $n \in Z$.

$x = \pm \frac{1}{2} \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ:

При $a \in [1/2, 1]$ решения уравнения существуют и равны $x = \pm \frac{1}{2} \arcsin\left(2\sqrt{\frac{a - 1}{2a - 3}}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

В частности, при $a=1/2$ имеем $sin^2(2x)=1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$; при $a=1$ имеем $sin^2(2x)=0$, откуда $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

При $a \in (-\infty, 1/2) \cup (1, +\infty)$ уравнение не имеет решений.