Номер 3.11, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. $\sqrt{\frac{1}{16} + \cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x} + \sqrt{\frac{9}{16} + \cos^4 x - \frac{3}{2}\cos^2 x} = \frac{1}{2}$

Преобразуем выражения под знаками корня, выделив в них полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые.

Первое подкоренное выражение: $\frac{1}{16} + \cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x = (\cos^2 x)^2 - 2 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = \left(\cos^2 x - \frac{1}{4}\right)^2$.

Второе подкоренное выражение: $\frac{9}{16} + \cos^4 x - \frac{3}{2}\cos^2 x = (\cos^2 x)^2 - 2 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 = \left(\cos^2 x - \frac{3}{4}\right)^2$.

Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получаем: $\sqrt{\left(\cos^2 x - \frac{1}{4}\right)^2} + \sqrt{\left(\cos^2 x - \frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид: $\left|\cos^2 x - \frac{1}{4}\right| + \left|\cos^2 x - \frac{3}{4}\right| = \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $y = \cos^2 x$. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le \cos^2 x \le 1$, следовательно, область значений для $y$ — это отрезок $[0, 1]$. Уравнение с новой переменной выглядит так: $|y - \frac{1}{4}| + |y - \frac{3}{4}| = \frac{1}{2}$.

Это уравнение можно интерпретировать геометрически: сумма расстояний от точки $y$ на числовой прямой до точек $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ равна $\frac{1}{2}$. Расстояние между самими точками $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $y$ находится на отрезке, соединяющем точки $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.

Следовательно, решением для $y$ является двойное неравенство: $\frac{1}{4} \le y \le \frac{3}{4}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $y = \cos^2 x$: $\frac{1}{4} \le \cos^2 x \le \frac{3}{4}$.

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Подставляя, получаем: $\frac{1}{4} \le \frac{1 + \cos(2x)}{2} \le \frac{3}{4}$.

Последовательно преобразуем неравенство. Умножим все его части на 2: $\frac{1}{2} \le 1 + \cos(2x) \le \frac{3}{2}$. Затем вычтем 1 из всех частей: $-\frac{1}{2} \le \cos(2x) \le \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства для аргумента $2x$ является объединение интервалов, которые можно записать в общем виде: $\frac{\pi}{3} + \pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наконец, разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$.