Номер 3.7, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7. Найдите решения, лежащие в указанном промежутке, и запишите их в градусах:

1) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0$, $(0^\circ, 90^\circ)$;

2) $2\cos\frac{x}{2} - \sqrt{3} = 0$, $(0^\circ, 90^\circ)$;

3) $\operatorname{tg}\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$, $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$;

4) $3\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$, $(-\pi; 0)$

1) Решим уравнение $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}=0$ на промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить синус:

$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дается двумя сериями корней:

$a = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $a = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $3x-\frac{\pi}{4}$ и решим для $x$ в каждом случае.

Случай 1:

$3x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$

Случай 2:

$3x-\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь необходимо найти те решения, которые лежат в заданном промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$, что в радианах соответствует $(0, \frac{\pi}{2})$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Это $30^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, что не входит в интервал.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Это $60^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi = 180^\circ$, что не входит в интервал.

Другие целые значения $k$ также дадут корни вне указанного промежутка.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ$.

2) Решим уравнение $2\cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0$ на промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$.

Выразим косинус из уравнения:

$2\cos\frac{x}{2} = \sqrt{3}$

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(a) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$a = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi k$

Найдем решения, лежащие в промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$, то есть $(0, \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Это $60^\circ$, что входит в интервал $(0^\circ, 90^\circ)$.

При других целых $k$ решения будут выходить за пределы интервала.

Рассмотрим серию $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3} = -60^\circ$, что не входит в интервал.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} = 660^\circ$, что также не входит в интервал.

Таким образом, есть только одно решение.

Ответ: $60^\circ$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1$ на промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Общее решение для уравнения $\text{tg}(a) = 1$ имеет вид:

$a = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $2x+\frac{\pi}{3}$:

$2x+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{3\pi-4\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$

Найдем решения, удовлетворяющие неравенству $0 \le x < \frac{\pi}{2}$:

$0 \le -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{2}$

Добавим $\frac{\pi}{24}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{24} \le \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{24} = \frac{12\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$

Разделим все части на $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{1}{12} \le k < \frac{13}{12}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=1$.

Подставим $k=1$ в формулу для $x$:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{-\pi + 12\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}$

Переведем это значение в градусы:

$x = \frac{11 \cdot 180^\circ}{24} = \frac{11 \cdot 15^\circ}{2} = 82.5^\circ$.

Ответ: $82.5^\circ$.

4) Решим уравнение $3\text{ctg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$ на промежутке $(-\pi, 0)$.

Выразим котангенс из уравнения:

$\text{ctg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(a) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет вид:

$a = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}$:

$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi+\pi}{6} + \pi k = \frac{3\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x = \pi + 2\pi k$

Теперь найдем решения, лежащие в промежутке $(-\pi, 0)$:

$-\pi < \pi + 2\pi k < 0$

Вычтем $\pi$ из всех частей двойного неравенства:

$-\pi - \pi < 2\pi k < 0 - \pi$

$-2\pi < 2\pi k < -\pi$

Разделим все части на $2\pi$:

$-1 < k < -0.5$

В интервале $(-1, -0.5)$ нет целых чисел. Следовательно, целых значений $k$, удовлетворяющих этому условию, не существует.

Ответ: решений нет.