Номер 3.1, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 3.1–3.6, 3.8–3.11 решите уравнения.

3. 1.

1) $ \cos 2x = \frac{1}{2} $;

2) $ \sin \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

3) $ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{3} $;

4) $ \operatorname{ctg} 3x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

1) Дано уравнение $cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 2x$ и значение $a = \frac{1}{2}$.

Найдем значение арккосинуса: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении аргумент $t = \frac{x}{3}$ и значение $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение арксинуса: $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k)$

$x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$.

Общее решение для уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь аргумент $t = \frac{x}{2}$ и значение $a = \sqrt{3}$.

Значение арктангенса: $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi n)$

$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $ctg(3x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение для уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении аргумент $t = 3x$ и значение $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{3} + \pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.