Номер 2.38, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. Постройте график функции:

1) $y = \left|\arcsin \frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right|$;

2) $y = \arcsin (|x| - 1)$;

3) $y = |\operatorname{arctg} 2x + 1|$;

4) $y = \operatorname{arcctg}|1 - x|$.

1) $y = \left| \arcsin \frac{1-x^2}{1+x^2} \right|$

Для построения графика этой функции, исследуем ее шаг за шагом.
1. Область определения. Аргумент арксинуса, $u(x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$, должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Преобразуем выражение: $u(x) = \frac{-(x^2-1)}{x^2+1} = \frac{-(x^2+1-2)}{x^2+1} = -1 + \frac{2}{x^2+1}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и $0 < \frac{2}{x^2+1} \le 2$. Следовательно, $-1 < -1 + \frac{2}{x^2+1} \le 1$. Таким образом, выражение $u(x)$ принимает значения в интервале $(-1, 1]$, что входит в область определения арксинуса. Значит, функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
2. Упрощение функции. Используем тождество $\arccos z + \arcsin z = \pi/2$. Также известно тождество $\arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\arctan|x|$.
Пусть $g(x) = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2}$. Функция $g(x)$ является четной, так как $g(-x) = \arcsin\frac{1-(-x)^2}{1+(-x)^2} = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2} = g(x)$.
Тогда $g(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan|x|$.
Итак, исходная функция имеет вид $y = \left| \frac{\pi}{2} - 2\arctan|x| \right|$.
3. Построение графика. Так как функция $y(x)$ четная, построим ее для $x \ge 0$ и отразим симметрично относительно оси $Oy$.
Для $x \ge 0$, имеем $y = \left| \frac{\pi}{2} - 2\arctan x \right|$.
Найдем нули подмодульного выражения: $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x = 0 \implies \arctan x = \frac{\pi}{4} \implies x=1$.
• При $0 \le x \le 1$, $\arctan x \in [0, \pi/4]$, поэтому $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x \ge 0$. График совпадает с $y = \frac{\pi}{2} - 2\arctan x$. В точке $x=0$, $y=\frac{\pi}{2}$. В точке $x=1$, $y=0$.
• При $x > 1$, $\arctan x \in (\pi/4, \pi/2)$, поэтому $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x < 0$. График совпадает с $y = -\left(\frac{\pi}{2} - 2\arctan x\right) = 2\arctan x - \frac{\pi}{2}$.
При $x \to \infty$, $\arctan x \to \pi/2$, и $y \to 2(\pi/2) - \pi/2 = \pi/2$. Таким образом, $y=\pi/2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$ (и в силу четности при $x \to -\infty$).
График имеет W-образную форму с вершиной в точке $(0, \pi/2)$, касается оси $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=\pi/2$.

Ответ:

2) $y = \arcsin(|x|-1)$

1. Область определения. Аргумент арксинуса $|x|-1$ должен лежать в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le |x|-1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $0 \le |x| \le 2$.
Неравенство $|x| \ge 0$ верно всегда. Неравенство $|x| \le 2$ эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.
2. Четность. Функция является четной, так как $y(-x) = \arcsin(|-x|-1) = \arcsin(|x|-1) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.
3. Построение графика. Построим график для $x \in [0, 2]$ и отразим его относительно оси $Oy$.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \arcsin(x-1)$. Это график функции $y=\arcsin x$, сдвинутый на 1 единицу вправо.
Найдем значения в ключевых точках на отрезке $[0, 2]$:
• $x=0 \implies y = \arcsin(0-1) = \arcsin(-1) = -\pi/2$. Точка $(0, -\pi/2)$.
• $x=1 \implies y = \arcsin(1-1) = \arcsin(0) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• $x=2 \implies y = \arcsin(2-1) = \arcsin(1) = \pi/2$. Точка $(2, \pi/2)$.
Соединяем эти точки плавной кривой (частью синусоиды, повернутой на 90 градусов).
Для $x \in [-2, 0]$, отражаем построенную часть графика. Получим точки $(-2, \pi/2)$, $(-1, 0)$ и $(0, -\pi/2)$.
Итоговый график состоит из двух дуг, симметричных относительно оси $Oy$ и соединяющихся в точке $(0, -\pi/2)$.
Область значений функции: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

Ответ:

3) $y = |\operatorname{arctg} 2x + 1|$

Будем считать, что имеется в виду $y = |\arctan(2x) + 1|$. Построение графика выполним в несколько этапов.
1. Базовый график: $y_1 = \arctan x$. Это возрастающая функция, определенная на всей числовой оси, с областью значений $(-\pi/2, \pi/2)$ и горизонтальными асимптотами $y=\pm\pi/2$.
2. Сжатие: $y_2 = \arctan(2x)$. График $y_1$ сжимается в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$. Асимптоты и область значений остаются прежними.
3. Сдвиг: $y_3 = \arctan(2x) + 1$. График $y_2$ сдвигается на 1 единицу вверх. Область значений становится $(-\pi/2+1, \pi/2+1)$. Асимптоты смещаются до $y = -\pi/2+1 \approx -0.57$ и $y = \pi/2+1 \approx 2.57$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 1)$. Пересечение с осью $Ox$ находится из уравнения $\arctan(2x)+1=0 \implies \arctan(2x)=-1 \implies 2x = \tan(-1) \implies x = -\frac{\tan 1}{2} \approx -0.78$.
4. Модуль: $y = |\arctan(2x)+1|$. Часть графика $y_3$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x < -\frac{\tan 1}{2}$), отражается симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая выше оси $Ox$, остается без изменений.
• Новая горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ будет $y = -(-\pi/2+1) = \pi/2-1 \approx 0.57$.
• Асимптота при $x \to \infty$ остается $y = \pi/2+1 \approx 2.57$.
• График касается оси $Ox$ в точке $(-\frac{\tan 1}{2}, 0)$.

Ответ:

4) $y = \operatorname{arcctg} |1-x|$

1. Упрощение. Так как $|1-x|=|-(x-1)|=|x-1|$, функцию можно записать как $y = \operatorname{arccot}|x-1|$.
2. Построение по шагам.
• $y_1 = \operatorname{arccot} x$. Убывающая функция, определенная для всех $x$, с областью значений $(0, \pi)$ и асимптотами $y=0$ (при $x \to +\infty$) и $y=\pi$ (при $x \to -\infty$).
• $y_2 = \operatorname{arccot}|x|$. Аргумент $|x|$ всегда неотрицателен. Функция $y_2$ четная. Для $x \ge 0$, $y_2=\operatorname{arccot} x$. График $y_1$ для $x \ge 0$ (убывает от $\pi/2$ до 0). Для $x < 0$, этот участок отражается симметрично относительно оси $Oy$. График $y_2$ имеет "угол" в точке $(0, \pi/2)$ и симметричен относительно оси $Oy$. Область значений $y_2$ - это $(0, \pi/2]$.
• $y = \operatorname{arccot}|x-1|$. Это график $y_2$, сдвинутый на 1 единицу вправо по оси $Ox$.
3. Свойства итогового графика.
• Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.
• Область значений: Аргумент $|x-1| \ge 0$. Таким образом, значения арккотангенса будут лежать в интервале $(0, \pi/2]$. $E(y) = (0, \pi/2]$.
• Симметрия: График симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$.
• Экстремумы: Максимальное значение $y=\pi/2$ достигается, когда $|x-1|=0$, то есть при $x=1$. Точка максимума - $(1, \pi/2)$.
• Асимптоты: При $x \to \pm\infty$, $|x-1| \to \infty$, и $y = \operatorname{arccot}|x-1| \to 0$. Горизонтальная асимптота - $y=0$ (ось $Ox$).
• Пересечение с осями: При $x=0$, $y=\operatorname{arccot}|-1| = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$. Точка $(0, \pi/4)$. Пересечений с осью $Ox$ нет.

Ответ: