Номер 3.3, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. 1) $2 \sin x - 1 = 0$;

2) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;

3) $3 \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$;

4) $\sqrt{3} \operatorname{ctg} x + 1 = 0$.

1) Решим уравнение $2\sin x - 1 = 0$.
Для начала выразим $\sin x$ из уравнения. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2\sin x = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на 2:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$ записывается по формуле: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим это значение в формулу общего решения:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $2\cos x + \sqrt{3} = 0$.
Выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:
$2\cos x = -\sqrt{3}$
Разделим обе части на 2:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ записывается по формуле: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденное значение в формулу общего решения:
$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $3\operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$.
Выразим $\operatorname{tg} x$. Перенесем $-\sqrt{3}$ в правую часть:
$3\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$
Разделим обе части уравнения на 3:
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение для уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ записывается по формуле: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\sqrt{3}\operatorname{ctg} x + 1 = 0$.
Выразим $\operatorname{ctg} x$. Перенесем $1$ в правую часть:
$\sqrt{3}\operatorname{ctg} x = -1$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:
$\operatorname{ctg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение для уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ записывается по формуле: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим это значение в общую формулу:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.