Номер 3.4, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.4. 1) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0,5; $

2) $ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 1; $

4) $ \operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{3}. $

1) Решим уравнение $\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = 0,5$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = x-\frac{\pi}{3}$ и значение $a = 0,5 = \frac{1}{2}$.
Найдем значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим известные значения в общую формулу решения:
$x-\frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном уравнении аргумент $t = x+\frac{\pi}{4}$ и значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим значения в общую формулу:
$x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$x = -\frac{\pi}{4} \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Данное решение можно представить в виде двух серий корней:
а) $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$.
б) $x_2 = -\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$.
Обе формы записи ответа являются верными.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\text{tg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{tg}(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь аргумент $t = 2x-\frac{\pi}{6}$ и значение $a = 1$.
Найдем значение арктангенса: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу:
$2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Выразим $2x$:
$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{ctg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{3}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\text{ctg}(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае аргумент $t = \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}$ и значение $a = \sqrt{3}$.
Найдем значение арккотангенса: $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставим в общую формулу:
$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + \pi n$.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 24:
$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} + \pi n = \frac{\pi}{24} + \pi n$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{24} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{24} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.