Номер 2.40, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. Решите неравенство:

1) $2x^2 - 5x + 30 \le 0;$

2) $4x^2 + x + 1 > 0.$

1) Решим неравенство $2x^2 - 5x + 30 \le 0$.

Для этого рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 5x + 30$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $2x^2 - 5x + 30 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 25 - 240 = -215$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $2x^2 - 5x + 30$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $2x^2 - 5x + 30 \le 0$ требует найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Так как это выражение всегда положительно, таких значений $x$ не существует.

Ответ: нет решений.

2) Решим неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=4$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $4x^2 + x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $4x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$ требует найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Так как это выражение всегда положительно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.