Номер 2.37, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Постройте график функции:

1) $y = 3\arcsin\left(\frac{x}{2}+1\right);$

2) $y = -\frac{1}{2}\arccos(1-3x);$

3) $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2)+3;$

4) $y = 2\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{2}x+1\right)-2.$

1) $y = 3\arcsin(\frac{x}{2} + 1)$

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \arcsin(x)$.

Шаги построения:

1. Начнем с графика функции $y_0 = \arcsin(x)$. Область определения $D(y_0) = [-1, 1]$, область значений $E(y_0) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.

2. Преобразуем аргумент: $y_1 = \arcsin(\frac{x}{2})$. Это растяжение графика $y_0 = \arcsin(x)$ вдоль оси Ox в 2 раза. Область определения становится $[-2, 2]$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2})$.

3. Выполним сдвиг: $y_2 = \arcsin(\frac{x}{2} + 1) = \arcsin(\frac{1}{2}(x+2))$. Это сдвиг графика $y_1$ влево на 2 единицы. Область определения становится $[-2-2, 2-2] = [-4, 0]$. Ключевые точки: $(-4, -\frac{\pi}{2})$, $(-2, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$.

4. Выполним растяжение по оси Oy: $y = 3\arcsin(\frac{x}{2} + 1)$. Это растяжение графика $y_2$ вдоль оси Oy в 3 раза. Область значений становится $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Итоговые характеристики функции:

- Область определения $D(y)$:
$-1 \le \frac{x}{2} + 1 \le 1 \implies -2 \le \frac{x}{2} \le 0 \implies -4 \le x \le 0$.
$D(y) = [-4, 0]$.

- Область значений $E(y)$:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(\frac{x}{2}+1) \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{3\pi}{2} \le 3\arcsin(\frac{x}{2}+1) \le \frac{3\pi}{2}$.
$E(y) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

- Ключевые точки:
При $x=-4, y = 3\arcsin(-1) = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Точка $(-4, -3\pi/2)$.
При $x=-2, y = 3\arcsin(0) = 0$. Точка $(-2, 0)$.
При $x=0, y = 3\arcsin(1) = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Точка $(0, 3\pi/2)$.

График функции:

Ответ: График функции является частью синусоиды, повернутой на 90 градусов, растянутой и сдвинутой. Он расположен в диапазоне $x \in [-4, 0]$ и $y \in [-3\pi/2, 3\pi/2]$.

2) $y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \arccos(x)$.

Шаги построения:

1. $y_0 = \arccos(x)$: $D(y_0) = [-1, 1]$, $E(y_0) = [0, \pi]$. Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \pi/2)$, $(1, 0)$.

2. $y_1 = \arccos(1-3x) = \arccos(-3(x - 1/3))$:
- Сжатие к оси Oy в 3 раза: $\arccos(3x)$.
- Отражение относительно оси Oy: $\arccos(-3x)$.
- Сдвиг вправо на $1/3$: $\arccos(-3(x - 1/3))$.

3. $y_2 = \frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$: сжатие графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза.

4. $y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$: отражение графика $y_2$ относительно оси Ox.

Найдем область определения и область значений:

- $D(y)$: $-1 \le 1-3x \le 1 \implies -2 \le -3x \le 0 \implies 0 \le 3x \le 2 \implies 0 \le x \le \frac{2}{3}$.
$D(y) = [0, \frac{2}{3}]$.

- $E(y)$: $0 \le \arccos(1-3x) \le \pi \implies 0 \le \frac{1}{2}\arccos(1-3x) \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{2}\arccos(1-3x) \le 0$.
$E(y) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.

- Ключевые точки:
При $x=0, y = -\frac{1}{2}\arccos(1) = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x=2/3, y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3 \cdot \frac{2}{3}) = -\frac{1}{2}\arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Точка $(2/3, -\pi/2)$.
При $x=1/3, y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3 \cdot \frac{1}{3}) = -\frac{1}{2}\arccos(0) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$. Точка $(1/3, -\pi/4)$.

График функции:

Ответ: График - возрастающая кривая, начинающаяся в точке (0, 0) и заканчивающаяся в точке (2/3, -π/2).

3) $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2) + 3$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \operatorname{arctg}(x)$.

1. $y_0 = \operatorname{arctg}(x)$: $D(y_0) = (-\infty, +\infty)$, $E(y_0) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Горизонтальные асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{2}$. Центр симметрии в $(0, 0)$.

2. $y_1 = \operatorname{arctg}(x-2)$: сдвиг графика $y_0$ вправо на 2 единицы. Центр симметрии смещается в $(2, 0)$.

3. $y_2 = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2)$: сжатие графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза. Область значений становится $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$. Асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{4}$.

4. $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2) + 3$: сдвиг графика $y_2$ вверх на 3 единицы.

Итоговые характеристики:

- $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

- $E(y) = (3 - \frac{\pi}{4}, 3 + \frac{\pi}{4})$. Приблизительно $E(y) \approx (2.21, 3.79)$.

- Горизонтальные асимптоты: $y = 3 - \frac{\pi}{4}$ (при $x \to -\infty$) и $y = 3 + \frac{\pi}{4}$ (при $x \to +\infty$).

- Центр симметрии: при $x-2=0 \implies x=2$, $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(0) + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$.

График функции:

Ответ: График - это возрастающая кривая, сдвинутая так, что ее центр симметрии находится в точке (2, 3), и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = 3 \pm \pi/4$.

4) $y = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) - 2$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \operatorname{arcctg}(x)$.

1. $y_0 = \operatorname{arcctg}(x)$: $D(y_0) = (-\infty, +\infty)$, $E(y_0) = (0, \pi)$. Асимптоты: $y=\pi$ (при $x \to -\infty$) и $y=0$ (при $x \to +\infty$).

2. $y_1 = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}(x+2))$:
- Растяжение от оси Oy в 2 раза: $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x)$.
- Сдвиг влево на 2 единицы: $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}(x+2))$.

3. $y_2 = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1)$: растяжение графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза. Область значений становится $(0, 2\pi)$. Асимптоты $y=2\pi$ и $y=0$.

4. $y = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) - 2$: сдвиг графика $y_2$ вниз на 2 единицы.

Итоговые характеристики:

- $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

- $E(y) = (0-2, 2\pi-2) = (-2, 2\pi-2)$. Приблизительно $E(y) \approx (-2, 4.28)$.

- Горизонтальные асимптоты: $y = 2\pi-2$ (при $x \to -\infty$) и $y = -2$ (при $x \to +\infty$).

- "Центральная" точка: при $\frac{1}{2}x+1=0 \implies x=-2$, $y = 2\operatorname{arcctg}(0) - 2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2 = \pi-2 \approx 1.14$. Точка $(-2, \pi-2)$.

График функции:

Ответ: График - это убывающая кривая, "центр" которой находится в точке $(-2, \pi-2)$, и которая асимптотически приближается к линиям $y=2\pi-2$ и $y=-2$.