Номер 2.33, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. Докажите, что выполняется равенство $ \alpha + \beta + \gamma = \alpha\beta\gamma $, если $ \text{arctg} \alpha + \text{arctg} \beta + \text{arctg} \gamma = \pi $.

Нам дано равенство $\text{arctg}\,\alpha + \text{arctg}\,\beta + \text{arctg}\,\gamma = \pi$. Необходимо доказать, что из него следует равенство $\alpha + \beta + \gamma = \alpha\beta\gamma$.

Для удобства введем следующие обозначения:

$A = \text{arctg}\,\alpha$

$B = \text{arctg}\,\beta$

$C = \text{arctg}\,\gamma$

Из этих обозначений следует, что $\alpha = \text{tg}\,A$, $\beta = \text{tg}\,B$ и $\gamma = \text{tg}\,C$. Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому $A, B, C \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Исходное условие можно переписать в виде:

$A + B + C = \pi$

А доказываемое равенство — в виде:

$\text{tg}\,A + \text{tg}\,B + \text{tg}\,C = (\text{tg}\,A)(\text{tg}\,B)(\text{tg}\,C)$

Теперь докажем это тригонометрическое тождество, исходя из того, что сумма углов равна $\pi$.

Из $A + B + C = \pi$ выразим сумму $A + B$:

$A + B = \pi - C$

Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства:

$\text{tg}(A + B) = \text{tg}(\pi - C)$

Применим формулу тангенса суммы для левой части: $\text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg}\,x + \text{tg}\,y}{1 - \text{tg}\,x\,\text{tg}\,y}$, и формулу приведения для правой части: $\text{tg}(\pi - z) = -\text{tg}\,z$.

Получаем:

$\frac{\text{tg}\,A + \text{tg}\,B}{1 - \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B} = -\text{tg}\,C$

Данное преобразование является корректным, так как знаменатель $1 - \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B$ не равен нулю. Если бы $1 - \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B = 0$, то $\text{tg}(A+B)$ был бы не определен, что означало бы $A+B = \frac{\pi}{2} + k\pi$ для некоторого целого $k$. Из $A+B = \pi - C$ следовало бы, что $\pi - C = \frac{\pi}{2} + k\pi$, откуда $C = \frac{\pi}{2} - k\pi$. Но так как $C \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, единственно возможное значение для $k$ равно $0$, что дает $C = \frac{\pi}{2}$. Однако это значение не входит в область значений арктангенса, поэтому такой случай невозможен.

Умножим обе части равенства на знаменатель $(1 - \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B)$:

$\text{tg}\,A + \text{tg}\,B = -\text{tg}\,C \cdot (1 - \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B)$

Раскроем скобки в правой части:

$\text{tg}\,A + \text{tg}\,B = -\text{tg}\,C + \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B\,\text{tg}\,C$

Перенесем член $-\text{tg}\,C$ в левую часть:

$\text{tg}\,A + \text{tg}\,B + \text{tg}\,C = \text{tg}\,A\,\text{tg}\,B\,\text{tg}\,C$

Мы доказали тригонометрическое тождество. Теперь, выполнив обратную замену $\text{tg}\,A = \alpha$, $\text{tg}\,B = \beta$, $\text{tg}\,C = \gamma$, мы приходим к искомому равенству:

$\alpha + \beta + \gamma = \alpha\beta\gamma$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.