Номер 2.36, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Верно ли равенство $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}\right) - \arcsin x = \frac{\pi}{4}$?

Нет, данное равенство не является тождеством, поскольку оно справедливо не для всех значений переменной $x$, при которых его части определены. Приведем полное исследование.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы левая часть равенства была определена, необходимо выполнение следующих условий:

1. Аргумент функции $\arcsin x$ должен находиться в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le x \le 1$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - 2x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что также дает $-1 \le x \le 1$.

3. Аргумент первого арксинуса $A(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}$ должен также лежать в отрезке $[-1, 1]$. Преобразуем его: $A(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + \sqrt{1-x^2})$. Исследуя функцию $g(x) = x + \sqrt{1-x^2}$ на отрезке $[-1, 1]$, можно показать, что ее значения лежат в диапазоне $[-1, \sqrt{2}]$. Тогда для $A(x)$ получаем диапазон значений $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$, который полностью содержится в отрезке $[-1, 1]$.

Таким образом, область допустимых значений для исходного равенства — это отрезок $x \in [-1, 1]$.

Преобразование левой части равенства

Обозначим левую часть равенства как $L(x) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}\right) - \arcsin x$.

Чтобы упростить это выражение, введем замену $x = \sin\alpha$. Поскольку $x \in [-1, 1]$, мы можем однозначно определить $\alpha = \arcsin x$, так что $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

При такой замене выражение $\sqrt{1-x^2}$ становится $\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $\cos\alpha \ge 0$, и поэтому $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

Подставим замену в аргумент первого арксинуса:

$\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2(1-x^2)}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.

Используя формулу синуса суммы и значения $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

Теперь левая часть исходного равенства $L(x)$ принимает вид:

$L(x) = \arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) - \arcsin(\sin\alpha) = \arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) - \alpha$.

Анализ случаев

Значение выражения $\arcsin(\sin z)$ зависит от того, в каком интервале находится $z$. Тождество $\arcsin(\sin z) = z$ справедливо только для $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

В нашем случае $z = \alpha + \frac{\pi}{4}$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то для $z$ получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \le \alpha + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, то есть $-\frac{\pi}{4} \le \alpha + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$.

Рассмотрим два случая, на которые разбивается этот диапазон.

Случай 1: $\alpha + \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

Это условие выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$. Так как $x = \sin\alpha$ и функция синус монотонно возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, это соответствует значениям $x \in [\sin(-\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{4})]$, то есть $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

В этом случае $\arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) = \alpha + \frac{\pi}{4}$. Левая часть равенства становится:

$L(x) = (\alpha + \frac{\pi}{4}) - \alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ равенство верно.

Случай 2: $\alpha + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}]$.

Это условие выполняется, когда $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Это соответствует значениям $x \in (\sin(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{2})]$, то есть $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

В этом диапазоне для $z \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ используется тождество $\arcsin(\sin z) = \pi - z$. Тогда:

$\arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) = \pi - (\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} - \alpha$.

Левая часть равенства становится: $L(x) = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) - \alpha = \frac{3\pi}{4} - 2\alpha$.

Проверим, может ли это выражение равняться $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} - 2\alpha = \frac{\pi}{4} \implies 2\alpha = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{4}$.

Однако, данный случай рассматривается для $\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\alpha = \frac{\pi}{4}$ не входит в этот интервал, следовательно, на интервале $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ равенство не выполняется.

Вывод и контрпример

Равенство верно только при $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ и неверно при $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$. Поскольку равенство выполняется не для всех $x$ из ОДЗ, оно не является тождеством.

Чтобы показать, что равенство в общем случае неверно, достаточно привести один контрпример. Возьмем $x=1$:

$L(1) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 + \frac{\sqrt{2-2\cdot 1^2}}{2}\right) - \arcsin(1) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Полученное значение $-\frac{\pi}{4}$ не равно $\frac{\pi}{4}$, что и требовалось показать.

Ответ: Нет, данное равенство не является тождеством, поскольку оно верно не для всех $x$ из области допустимых значений, а только для $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.