Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Верно ли равенство $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}\right) - \arcsin x = \frac{\pi}{4}$?

Нет, данное равенство не является тождеством, поскольку оно справедливо не для всех значений переменной $x$, при которых его части определены. Приведем полное исследование.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы левая часть равенства была определена, необходимо выполнение следующих условий:

1. Аргумент функции $\arcsin x$ должен находиться в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le x \le 1$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - 2x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что также дает $-1 \le x \le 1$.

3. Аргумент первого арксинуса $A(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}$ должен также лежать в отрезке $[-1, 1]$. Преобразуем его: $A(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + \sqrt{1-x^2})$. Исследуя функцию $g(x) = x + \sqrt{1-x^2}$ на отрезке $[-1, 1]$, можно показать, что ее значения лежат в диапазоне $[-1, \sqrt{2}]$. Тогда для $A(x)$ получаем диапазон значений $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$, который полностью содержится в отрезке $[-1, 1]$.

Таким образом, область допустимых значений для исходного равенства — это отрезок $x \in [-1, 1]$.

Преобразование левой части равенства

Обозначим левую часть равенства как $L(x) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2-2x^2}}{2}\right) - \arcsin x$.

Чтобы упростить это выражение, введем замену $x = \sin\alpha$. Поскольку $x \in [-1, 1]$, мы можем однозначно определить $\alpha = \arcsin x$, так что $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

При такой замене выражение $\sqrt{1-x^2}$ становится $\sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|$. Так как $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $\cos\alpha \ge 0$, и поэтому $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

Подставим замену в аргумент первого арксинуса:

$\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2(1-x^2)}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha$.

Используя формулу синуса суммы и значения $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$.

Теперь левая часть исходного равенства $L(x)$ принимает вид:

$L(x) = \arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) - \arcsin(\sin\alpha) = \arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) - \alpha$.

Анализ случаев

Значение выражения $\arcsin(\sin z)$ зависит от того, в каком интервале находится $z$. Тождество $\arcsin(\sin z) = z$ справедливо только для $z \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

В нашем случае $z = \alpha + \frac{\pi}{4}$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то для $z$ получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \le \alpha + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$, то есть $-\frac{\pi}{4} \le \alpha + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$.

Рассмотрим два случая, на которые разбивается этот диапазон.

Случай 1: $\alpha + \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$.

Это условие выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$. Так как $x = \sin\alpha$ и функция синус монотонно возрастает на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, это соответствует значениям $x \in [\sin(-\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{4})]$, то есть $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

В этом случае $\arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) = \alpha + \frac{\pi}{4}$. Левая часть равенства становится:

$L(x) = (\alpha + \frac{\pi}{4}) - \alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ равенство верно.

Случай 2: $\alpha + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}]$.

Это условие выполняется, когда $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Это соответствует значениям $x \in (\sin(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{2})]$, то есть $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

В этом диапазоне для $z \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ используется тождество $\arcsin(\sin z) = \pi - z$. Тогда:

$\arcsin(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4})) = \pi - (\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} - \alpha$.

Левая часть равенства становится: $L(x) = (\frac{3\pi}{4} - \alpha) - \alpha = \frac{3\pi}{4} - 2\alpha$.

Проверим, может ли это выражение равняться $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} - 2\alpha = \frac{\pi}{4} \implies 2\alpha = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{4}$.

Однако, данный случай рассматривается для $\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\alpha = \frac{\pi}{4}$ не входит в этот интервал, следовательно, на интервале $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ равенство не выполняется.

Вывод и контрпример

Равенство верно только при $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ и неверно при $x \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$. Поскольку равенство выполняется не для всех $x$ из ОДЗ, оно не является тождеством.

Чтобы показать, что равенство в общем случае неверно, достаточно привести один контрпример. Возьмем $x=1$:

$L(1) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 + \frac{\sqrt{2-2\cdot 1^2}}{2}\right) - \arcsin(1) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Полученное значение $-\frac{\pi}{4}$ не равно $\frac{\pi}{4}$, что и требовалось показать.

Ответ: Нет, данное равенство не является тождеством, поскольку оно верно не для всех $x$ из области допустимых значений, а только для $x \in [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

2.37. Постройте график функции:

1) $y = 3\arcsin\left(\frac{x}{2}+1\right);$

2) $y = -\frac{1}{2}\arccos(1-3x);$

3) $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2)+3;$

4) $y = 2\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{2}x+1\right)-2.$

1) $y = 3\arcsin(\frac{x}{2} + 1)$

Построение графика этой функции можно выполнить с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \arcsin(x)$.

Шаги построения:

1. Начнем с графика функции $y_0 = \arcsin(x)$. Область определения $D(y_0) = [-1, 1]$, область значений $E(y_0) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.

2. Преобразуем аргумент: $y_1 = \arcsin(\frac{x}{2})$. Это растяжение графика $y_0 = \arcsin(x)$ вдоль оси Ox в 2 раза. Область определения становится $[-2, 2]$. Ключевые точки: $(-2, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2})$.

3. Выполним сдвиг: $y_2 = \arcsin(\frac{x}{2} + 1) = \arcsin(\frac{1}{2}(x+2))$. Это сдвиг графика $y_1$ влево на 2 единицы. Область определения становится $[-2-2, 2-2] = [-4, 0]$. Ключевые точки: $(-4, -\frac{\pi}{2})$, $(-2, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$.

4. Выполним растяжение по оси Oy: $y = 3\arcsin(\frac{x}{2} + 1)$. Это растяжение графика $y_2$ вдоль оси Oy в 3 раза. Область значений становится $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Итоговые характеристики функции:

- Область определения $D(y)$:
$-1 \le \frac{x}{2} + 1 \le 1 \implies -2 \le \frac{x}{2} \le 0 \implies -4 \le x \le 0$.
$D(y) = [-4, 0]$.

- Область значений $E(y)$:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(\frac{x}{2}+1) \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{3\pi}{2} \le 3\arcsin(\frac{x}{2}+1) \le \frac{3\pi}{2}$.
$E(y) = [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

- Ключевые точки:
При $x=-4, y = 3\arcsin(-1) = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Точка $(-4, -3\pi/2)$.
При $x=-2, y = 3\arcsin(0) = 0$. Точка $(-2, 0)$.
При $x=0, y = 3\arcsin(1) = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Точка $(0, 3\pi/2)$.

График функции:

Ответ: График функции является частью синусоиды, повернутой на 90 градусов, растянутой и сдвинутой. Он расположен в диапазоне $x \in [-4, 0]$ и $y \in [-3\pi/2, 3\pi/2]$.

2) $y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \arccos(x)$.

Шаги построения:

1. $y_0 = \arccos(x)$: $D(y_0) = [-1, 1]$, $E(y_0) = [0, \pi]$. Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \pi/2)$, $(1, 0)$.

2. $y_1 = \arccos(1-3x) = \arccos(-3(x - 1/3))$:
- Сжатие к оси Oy в 3 раза: $\arccos(3x)$.
- Отражение относительно оси Oy: $\arccos(-3x)$.
- Сдвиг вправо на $1/3$: $\arccos(-3(x - 1/3))$.

3. $y_2 = \frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$: сжатие графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза.

4. $y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3x)$: отражение графика $y_2$ относительно оси Ox.

Найдем область определения и область значений:

- $D(y)$: $-1 \le 1-3x \le 1 \implies -2 \le -3x \le 0 \implies 0 \le 3x \le 2 \implies 0 \le x \le \frac{2}{3}$.
$D(y) = [0, \frac{2}{3}]$.

- $E(y)$: $0 \le \arccos(1-3x) \le \pi \implies 0 \le \frac{1}{2}\arccos(1-3x) \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{2}\arccos(1-3x) \le 0$.
$E(y) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.

- Ключевые точки:
При $x=0, y = -\frac{1}{2}\arccos(1) = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x=2/3, y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3 \cdot \frac{2}{3}) = -\frac{1}{2}\arccos(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Точка $(2/3, -\pi/2)$.
При $x=1/3, y = -\frac{1}{2}\arccos(1 - 3 \cdot \frac{1}{3}) = -\frac{1}{2}\arccos(0) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$. Точка $(1/3, -\pi/4)$.

График функции:

Ответ: График - возрастающая кривая, начинающаяся в точке (0, 0) и заканчивающаяся в точке (2/3, -π/2).

3) $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2) + 3$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \operatorname{arctg}(x)$.

1. $y_0 = \operatorname{arctg}(x)$: $D(y_0) = (-\infty, +\infty)$, $E(y_0) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Горизонтальные асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{2}$. Центр симметрии в $(0, 0)$.

2. $y_1 = \operatorname{arctg}(x-2)$: сдвиг графика $y_0$ вправо на 2 единицы. Центр симметрии смещается в $(2, 0)$.

3. $y_2 = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2)$: сжатие графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза. Область значений становится $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$. Асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{4}$.

4. $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x-2) + 3$: сдвиг графика $y_2$ вверх на 3 единицы.

Итоговые характеристики:

- $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

- $E(y) = (3 - \frac{\pi}{4}, 3 + \frac{\pi}{4})$. Приблизительно $E(y) \approx (2.21, 3.79)$.

- Горизонтальные асимптоты: $y = 3 - \frac{\pi}{4}$ (при $x \to -\infty$) и $y = 3 + \frac{\pi}{4}$ (при $x \to +\infty$).

- Центр симметрии: при $x-2=0 \implies x=2$, $y = \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(0) + 3 = 3$. Точка $(2, 3)$.

График функции:

Ответ: График - это возрастающая кривая, сдвинутая так, что ее центр симметрии находится в точке (2, 3), и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = 3 \pm \pi/4$.

4) $y = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) - 2$

Построим график, преобразуя базовую функцию $y_0 = \operatorname{arcctg}(x)$.

1. $y_0 = \operatorname{arcctg}(x)$: $D(y_0) = (-\infty, +\infty)$, $E(y_0) = (0, \pi)$. Асимптоты: $y=\pi$ (при $x \to -\infty$) и $y=0$ (при $x \to +\infty$).

2. $y_1 = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}(x+2))$:
- Растяжение от оси Oy в 2 раза: $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x)$.
- Сдвиг влево на 2 единицы: $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}(x+2))$.

3. $y_2 = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1)$: растяжение графика $y_1$ по оси Oy в 2 раза. Область значений становится $(0, 2\pi)$. Асимптоты $y=2\pi$ и $y=0$.

4. $y = 2\operatorname{arcctg}(\frac{1}{2}x+1) - 2$: сдвиг графика $y_2$ вниз на 2 единицы.

Итоговые характеристики:

- $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

- $E(y) = (0-2, 2\pi-2) = (-2, 2\pi-2)$. Приблизительно $E(y) \approx (-2, 4.28)$.

- Горизонтальные асимптоты: $y = 2\pi-2$ (при $x \to -\infty$) и $y = -2$ (при $x \to +\infty$).

- "Центральная" точка: при $\frac{1}{2}x+1=0 \implies x=-2$, $y = 2\operatorname{arcctg}(0) - 2 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2 = \pi-2 \approx 1.14$. Точка $(-2, \pi-2)$.

График функции:

Ответ: График - это убывающая кривая, "центр" которой находится в точке $(-2, \pi-2)$, и которая асимптотически приближается к линиям $y=2\pi-2$ и $y=-2$.

2.38. Постройте график функции:

1) $y = \left|\arcsin \frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right|$;

2) $y = \arcsin (|x| - 1)$;

3) $y = |\operatorname{arctg} 2x + 1|$;

4) $y = \operatorname{arcctg}|1 - x|$.

1) $y = \left| \arcsin \frac{1-x^2}{1+x^2} \right|$

Для построения графика этой функции, исследуем ее шаг за шагом.
1. Область определения. Аргумент арксинуса, $u(x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$, должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Преобразуем выражение: $u(x) = \frac{-(x^2-1)}{x^2+1} = \frac{-(x^2+1-2)}{x^2+1} = -1 + \frac{2}{x^2+1}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и $0 < \frac{2}{x^2+1} \le 2$. Следовательно, $-1 < -1 + \frac{2}{x^2+1} \le 1$. Таким образом, выражение $u(x)$ принимает значения в интервале $(-1, 1]$, что входит в область определения арксинуса. Значит, функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
2. Упрощение функции. Используем тождество $\arccos z + \arcsin z = \pi/2$. Также известно тождество $\arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = 2\arctan|x|$.
Пусть $g(x) = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2}$. Функция $g(x)$ является четной, так как $g(-x) = \arcsin\frac{1-(-x)^2}{1+(-x)^2} = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2} = g(x)$.
Тогда $g(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan|x|$.
Итак, исходная функция имеет вид $y = \left| \frac{\pi}{2} - 2\arctan|x| \right|$.
3. Построение графика. Так как функция $y(x)$ четная, построим ее для $x \ge 0$ и отразим симметрично относительно оси $Oy$.
Для $x \ge 0$, имеем $y = \left| \frac{\pi}{2} - 2\arctan x \right|$.
Найдем нули подмодульного выражения: $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x = 0 \implies \arctan x = \frac{\pi}{4} \implies x=1$.
• При $0 \le x \le 1$, $\arctan x \in [0, \pi/4]$, поэтому $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x \ge 0$. График совпадает с $y = \frac{\pi}{2} - 2\arctan x$. В точке $x=0$, $y=\frac{\pi}{2}$. В точке $x=1$, $y=0$.
• При $x > 1$, $\arctan x \in (\pi/4, \pi/2)$, поэтому $\frac{\pi}{2} - 2\arctan x < 0$. График совпадает с $y = -\left(\frac{\pi}{2} - 2\arctan x\right) = 2\arctan x - \frac{\pi}{2}$.
При $x \to \infty$, $\arctan x \to \pi/2$, и $y \to 2(\pi/2) - \pi/2 = \pi/2$. Таким образом, $y=\pi/2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$ (и в силу четности при $x \to -\infty$).
График имеет W-образную форму с вершиной в точке $(0, \pi/2)$, касается оси $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=\pi/2$.

Ответ:

2) $y = \arcsin(|x|-1)$

1. Область определения. Аргумент арксинуса $|x|-1$ должен лежать в отрезке $[-1, 1]$.
$-1 \le |x|-1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $0 \le |x| \le 2$.
Неравенство $|x| \ge 0$ верно всегда. Неравенство $|x| \le 2$ эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 2]$.
2. Четность. Функция является четной, так как $y(-x) = \arcsin(|-x|-1) = \arcsin(|x|-1) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.
3. Построение графика. Построим график для $x \in [0, 2]$ и отразим его относительно оси $Oy$.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \arcsin(x-1)$. Это график функции $y=\arcsin x$, сдвинутый на 1 единицу вправо.
Найдем значения в ключевых точках на отрезке $[0, 2]$:
• $x=0 \implies y = \arcsin(0-1) = \arcsin(-1) = -\pi/2$. Точка $(0, -\pi/2)$.
• $x=1 \implies y = \arcsin(1-1) = \arcsin(0) = 0$. Точка $(1, 0)$.
• $x=2 \implies y = \arcsin(2-1) = \arcsin(1) = \pi/2$. Точка $(2, \pi/2)$.
Соединяем эти точки плавной кривой (частью синусоиды, повернутой на 90 градусов).
Для $x \in [-2, 0]$, отражаем построенную часть графика. Получим точки $(-2, \pi/2)$, $(-1, 0)$ и $(0, -\pi/2)$.
Итоговый график состоит из двух дуг, симметричных относительно оси $Oy$ и соединяющихся в точке $(0, -\pi/2)$.
Область значений функции: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

Ответ:

3) $y = |\operatorname{arctg} 2x + 1|$

Будем считать, что имеется в виду $y = |\arctan(2x) + 1|$. Построение графика выполним в несколько этапов.
1. Базовый график: $y_1 = \arctan x$. Это возрастающая функция, определенная на всей числовой оси, с областью значений $(-\pi/2, \pi/2)$ и горизонтальными асимптотами $y=\pm\pi/2$.
2. Сжатие: $y_2 = \arctan(2x)$. График $y_1$ сжимается в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$. Асимптоты и область значений остаются прежними.
3. Сдвиг: $y_3 = \arctan(2x) + 1$. График $y_2$ сдвигается на 1 единицу вверх. Область значений становится $(-\pi/2+1, \pi/2+1)$. Асимптоты смещаются до $y = -\pi/2+1 \approx -0.57$ и $y = \pi/2+1 \approx 2.57$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 1)$. Пересечение с осью $Ox$ находится из уравнения $\arctan(2x)+1=0 \implies \arctan(2x)=-1 \implies 2x = \tan(-1) \implies x = -\frac{\tan 1}{2} \approx -0.78$.
4. Модуль: $y = |\arctan(2x)+1|$. Часть графика $y_3$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x < -\frac{\tan 1}{2}$), отражается симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая выше оси $Ox$, остается без изменений.
• Новая горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ будет $y = -(-\pi/2+1) = \pi/2-1 \approx 0.57$.
• Асимптота при $x \to \infty$ остается $y = \pi/2+1 \approx 2.57$.
• График касается оси $Ox$ в точке $(-\frac{\tan 1}{2}, 0)$.

Ответ:

4) $y = \operatorname{arcctg} |1-x|$

1. Упрощение. Так как $|1-x|=|-(x-1)|=|x-1|$, функцию можно записать как $y = \operatorname{arccot}|x-1|$.
2. Построение по шагам.
• $y_1 = \operatorname{arccot} x$. Убывающая функция, определенная для всех $x$, с областью значений $(0, \pi)$ и асимптотами $y=0$ (при $x \to +\infty$) и $y=\pi$ (при $x \to -\infty$).
• $y_2 = \operatorname{arccot}|x|$. Аргумент $|x|$ всегда неотрицателен. Функция $y_2$ четная. Для $x \ge 0$, $y_2=\operatorname{arccot} x$. График $y_1$ для $x \ge 0$ (убывает от $\pi/2$ до 0). Для $x < 0$, этот участок отражается симметрично относительно оси $Oy$. График $y_2$ имеет "угол" в точке $(0, \pi/2)$ и симметричен относительно оси $Oy$. Область значений $y_2$ - это $(0, \pi/2]$.
• $y = \operatorname{arccot}|x-1|$. Это график $y_2$, сдвинутый на 1 единицу вправо по оси $Ox$.
3. Свойства итогового графика.
• Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.
• Область значений: Аргумент $|x-1| \ge 0$. Таким образом, значения арккотангенса будут лежать в интервале $(0, \pi/2]$. $E(y) = (0, \pi/2]$.
• Симметрия: График симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$.
• Экстремумы: Максимальное значение $y=\pi/2$ достигается, когда $|x-1|=0$, то есть при $x=1$. Точка максимума - $(1, \pi/2)$.
• Асимптоты: При $x \to \pm\infty$, $|x-1| \to \infty$, и $y = \operatorname{arccot}|x-1| \to 0$. Горизонтальная асимптота - $y=0$ (ось $Ox$).
• Пересечение с осями: При $x=0$, $y=\operatorname{arccot}|-1| = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$. Точка $(0, \pi/4)$. Пересечений с осью $Ox$ нет.

Ответ:

2.39. Найдите значение $tgx$ и $ctgx$, если $sinx = \frac{5}{13}$, $x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

По условию задачи дано, что $\sin x = \frac{5}{13}$ и $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. Это означает, что угол $x$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.

Для нахождения искомых значений сначала найдем $\cos x$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Выразим из тождества $\cos^2 x$ и подставим известное значение $\sin x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда находим $\cos x$: $\cos x = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Так как угол $x$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком минус: $\cos x = -\frac{12}{13}$.

Теперь, зная значения синуса и косинуса, можем вычислить тангенс и котангенс.

Значение тангенса находим по формуле $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\tg x = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$.

Значение котангенса можно найти как обратную величину тангенса, $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$\ctg x = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $\tg x = -\frac{5}{12}$, $\ctg x = -\frac{12}{5}$.

2.40. Решите неравенство:

1) $2x^2 - 5x + 30 \le 0;$

2) $4x^2 + x + 1 > 0.$

1) Решим неравенство $2x^2 - 5x + 30 \le 0$.

Для этого рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 - 5x + 30$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $2x^2 - 5x + 30 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 25 - 240 = -215$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $2x^2 - 5x + 30$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $2x^2 - 5x + 30 \le 0$ требует найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Так как это выражение всегда положительно, таких значений $x$ не существует.

Ответ: нет решений.

2) Решим неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 4x^2 + x + 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=4$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $4x^2 + x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, значение выражения $4x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Неравенство $4x^2 + x + 1 > 0$ требует найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Так как это выражение всегда положительно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.41. Проходит ли прямая $3x + 0,6y = 3,5$ через точку пересечения прямых $y = 2x - 8$ и $3y + 7x = 2$?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо выполнить два шага: сначала найти координаты точки пересечения прямых $y = 2x - 8$ и $3y + 7x = 2$, а затем проверить, удовлетворяют ли эти координаты уравнению прямой $3x + 0,6y = 3,5$.

1. Нахождение точки пересечения.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x - 8 \\ 3y + 7x = 2 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3(2x - 8) + 7x = 2$

Раскроем скобки и найдем значение $x$:

$6x - 24 + 7x = 2$

$13x - 24 = 2$

$13x = 2 + 24$

$13x = 26$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в первое уравнение системы:

$y = 2(2) - 8 = 4 - 8 = -4$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(2; -4)$.

2. Проверка принадлежности точки прямой $3x + 0,6y = 3,5$.

Подставим координаты точки $(2; -4)$ в уравнение третьей прямой:

$3(2) + 0,6(-4) = 3,5$

$6 - 2,4 = 3,5$

$3,6 = 3,5$

Полученное равенство неверно ($3,6 \neq 3,5$), следовательно, точка пересечения $(2; -4)$ не лежит на прямой $3x + 0,6y = 3,5$.

Ответ: нет, прямая $3x + 0,6y = 3,5$ не проходит через точку пересечения прямых $y = 2x - 8$ и $3y + 7x = 2$.