Страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Решите систему уравнений графически:

1) $$ \begin{cases} 2x + 3y = 1, \\ xy = 1; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x - y = 3. \end{cases} $$

1) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ xy = 1 \end{cases}$

Для решения системы графически построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Первое уравнение, $2x + 3y = 1$, является линейным. Его график — прямая. Выразим $y$ через $x$ для построения: $3y = 1 - 2x$, откуда $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$. Второе уравнение, $xy = 1$, или $y = \frac{1}{x}$. Его график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Построим графики на координатной плоскости.

На графике видно, что прямая и гипербола не пересекаются. Чтобы убедиться в этом, можно решить систему аналитически. Подставим $y = \frac{1}{x}$ в первое уравнение: $2x + 3\left(\frac{1}{x}\right) = 1$. Умножив на $x \neq 0$, получим квадратное уравнение $2x^2 + 3 = x$ или $2x^2 - x + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что графики функций не пересекаются.

Ответ: Решений нет.

2) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Построим графики каждого уравнения. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 1$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Второе уравнение, $x - y = 3$, является линейным. Его график — прямая. Выразим $y$ через $x$: $y = x - 3$.

Построим окружность и прямую на одной координатной плоскости.

Из графика видно, что окружность и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Проверим это аналитически. Подставим $y = x - 3$ в уравнение окружности: $x^2 + (x - 3)^2 = 1$. Раскрыв скобки, получим $x^2 + x^2 - 6x + 9 = 1$, что приводит к квадратному уравнению $2x^2 - 6x + 8 = 0$ или $x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

2.29. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 8.

Все трехзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию.
Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее трехзначное число, которое делится на 8. Наименьшее трехзначное число — 100. Выполним деление с остатком: $100 = 12 \cdot 8 + 4$. Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 8, это $100 + (8-4) = 104$. Таким образом, $a_1 = 104$.
Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее трехзначное число, которое делится на 8. Наибольшее трехзначное число — 999. Выполним деление с остатком: $999 = 124 \cdot 8 + 7$. Следовательно, наибольшее трехзначное число, кратное 8, это $999 - 7 = 992$. Таким образом, $a_n = 992$.
Разность прогрессии $d$ равна 8.
Найдем количество членов прогрессии $n$ по формуле для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$
$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$
$888 = (n-1) \cdot 8$
$n-1 = \frac{888}{8}$
$n-1 = 111$
$n = 112$
Теперь найдем сумму этих $n$ членов по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \cdot 112 = \frac{1096}{2} \cdot 112 = 548 \cdot 112 = 61376$.
Ответ: 61376