Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Укажите части промежутка (0;1), в которых функция $y = \cos \frac{(2x-1)\pi}{4}$ принимает положительные и отрицательные значения. Имеет ли функция нули на этом промежутке?

Для анализа функции $y = \cos\frac{(2x-1)\pi}{4}$ на промежутке $x \in (0; 1)$, в первую очередь определим, в каких пределах изменяется ее аргумент, который мы обозначим как $t = \frac{(2x-1)\pi}{4}$.

Найдем область значений $t$, когда $x$ изменяется в интервале $(0; 1)$.
Если $x \to 0$ (справа), то $t \to \frac{(2 \cdot 0 - 1)\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Если $x \to 1$ (слева), то $t \to \frac{(2 \cdot 1 - 1)\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Поскольку зависимость $t$ от $x$ является линейной и возрастающей, при $x \in (0; 1)$ аргумент $t$ будет находиться в интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Укажите части промежутка (0;1), в которых функция принимает положительные и отрицательные значения

Теперь проанализируем знак функции $y = \cos(t)$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$. Этот интервал соответствует углам в IV и I координатных четвертях. Как известно, функция косинус положительна на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку наш интервал для $t$, а именно $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$, является подмножеством интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то на нем функция $\cos(t)$ строго положительна. Следовательно, для всех $x \in (0; 1)$ функция $y = \cos\frac{(2x-1)\pi}{4}$ принимает только положительные значения. Частей, где функция принимает отрицательные значения, на данном промежутке нет.

Ответ: функция принимает положительные значения на всем промежутке $(0; 1)$; частей, где функция принимает отрицательные значения, на этом промежутке нет.

Имеет ли функция нули на этом промежутке?

Нули функции — это значения $x$, при которых $y(x) = 0$. Для этого необходимо решить уравнение: $\cos\frac{(2x-1)\pi}{4} = 0$ Уравнение $\cos(t) = 0$ имеет решения вида $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим выражение для $t$ и решим уравнение относительно $x$: $\frac{(2x-1)\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ Разделим обе части уравнения на $\pi$: $\frac{2x-1}{4} = \frac{1}{2} + k$ Умножим обе части на 4: $2x-1 = 2 + 4k$ $2x = 3 + 4k$ $x = \frac{3+4k}{2}$ Теперь проверим, существуют ли такие целые $k$, при которых значение $x$ попадает в заданный интервал $(0; 1)$: $0 < \frac{3+4k}{2} < 1$ Умножим все части двойного неравенства на 2: $0 < 3+4k < 2$ Вычтем 3 из всех частей: $-3 < 4k < -1$ Разделим все части на 4: $-\frac{3}{4} < k < -\frac{1}{4}$ В полученном интервале $(-\frac{3}{4}; -\frac{1}{4})$ нет целых чисел. Это означает, что на промежутке $(0; 1)$ нет значений $x$, при которых функция обращается в ноль. Данный вывод также следует из того, что функция на этом промежутке строго положительна.

Ответ: нет, функция не имеет нулей на промежутке $(0; 1)$.

2.12. Сколько корней имеет уравнение:

1) $ \sin x = 0.5x $;

2) $ \sin x = x $;

3) $ \cos x = x^2 $;

4) $ \tan x = kx + b $?

Решите графически.

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) sin x = 0,5x;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = 0,5x$.

$y = \sin x$ — это синусоида, ограниченная по оси $y$ значениями от -1 до 1.

$y = 0,5x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент прямой равен 0,5.

Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках. Одна точка — это начало координат (x=0). Так как обе функции нечетные ($f(-x) = -f(x)$), их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому, кроме корня $x=0$, существует еще один положительный корень и один отрицательный, равный ему по модулю. Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: 3 корня.

2) sin x = x;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = x$.

$y = \sin x$ — синусоида.

$y = x$ — прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Прямая $y = x$ является касательной к графику $y = \sin x$ в точке $x=0$. При $x>0$ выполняется неравенство $\sin x < x$, а при $x<0$ — $\sin x > x$. Следовательно, графики имеют только одну общую точку в начале координат.

Ответ: 1 корень.

3) cos x = x²;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x^2$.

$y = \cos x$ — косинусоида.

$y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Обе функции, $y=\cos x$ и $y=x^2$, являются четными, поэтому их графики симметричны относительно оси $y$. Для $x > 0$ парабола $y=x^2$ возрастает от 0, а косинусоида $y=\cos x$ убывает от 1. Они пересекаются в одной точке. В силу симметрии, существует и вторая точка пересечения для $x < 0$. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.

4) tg x = kx + b?

Рассмотрим графики функций $y = \text{tg } x$ и $y = kx + b$.

$y = \text{tg } x$ — тангенсоида. Эта функция является периодической с периодом $\pi$ и имеет бесконечное число ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число.

$y = kx + b$ — прямая линия с угловым коэффициентом $k$ и сдвигом $b$ по оси $y$.

На каждом интервале вида $(\frac{\pi}{2} + n\pi, \frac{\pi}{2} + (n+1)\pi)$ функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и её значения изменяются от $-\infty$ до $+\infty$. Прямая $y = kx+b$ является неограниченной функцией. Какую бы прямую мы ни провели, она обязательно пересечет каждую из бесконечного числа ветвей тангенсоиды. Это означает, что при любых значениях параметров $k$ и $b$ уравнение будет иметь бесконечное число корней.

Ответ: бесконечно много корней.

2.13. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции $y = |\operatorname{tg} x|$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции $y = |\tg x|$, проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция тангенса $\tg x$ определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения функции $y = |\tg x|$ совпадает с областью определения $\tg x$: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

2. Периодичность. Функция $\tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Проверим периодичность функции $y = |\tg x|$: $y(x+\pi) = |\tg(x+\pi)| = |\tg x| = y(x)$. Следовательно, функция $y = |\tg x|$ также является периодической с периодом $T = \pi$. Это позволяет нам исследовать функцию на одном периоде, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и затем обобщить результаты на всю область определения.

3. Производная и монотонность. Раскроем модуль в зависимости от знака $\tg x$:
$y = |\tg x| = \begin{cases} \tg x, & \text{если } \tg x \ge 0 \\ -\tg x, & \text{если } \tg x < 0 \end{cases}$
Знак $\tg x$ зависит от четверти, в которой находится $x$. Учитывая периодичность, получаем:
$y = |\tg x| = \begin{cases} \tg x, & \text{для } x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ -\tg x, & \text{для } x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n) \end{cases}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем производную функции $y'$ на интервалах, где она существует:
$y' = \begin{cases} (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}, & \text{для } x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ (-\tg x)' = -\frac{1}{\cos^2 x}, & \text{для } x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n) \end{cases}$
В точках $x = \pi n$, где $\tg x = 0$, производная не существует, так как график функции в этих точках имеет излом. Эти точки являются критическими.

Промежутки возрастания
Функция возрастает, когда ее производная положительна: $y' > 0$.
Это соответствует условию $\frac{1}{\cos^2 x} > 0$, которое выполняется на интервалах, где $\tg x > 0$.
Эти интервалы имеют вид $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ для любого целого $n$.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания
Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$.
Это соответствует условию $-\frac{1}{\cos^2 x} < 0$, которое выполняется на интервалах, где $\tg x < 0$.
Эти интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$ для любого целого $n$.
Ответ: функция убывает на каждом из промежутков $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы
Экстремумы могут достигаться в критических точках, где производная равна нулю или не существует. Производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Она не существует в точках $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $x = \pi n$. Слева от этой точки (на интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$) функция убывает ($y' < 0$), а справа от точки (на интервале $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$) функция возрастает ($y' > 0$).
Согласно первому признаку экстремума, в точках $x = \pi n$ функция имеет точки минимума.
Значение функции в этих точках: $y_{min} = y(\pi n) = |\tg(\pi n)| = |0| = 0$.
Поскольку $y = |\tg x| \ge 0$ для всех $x$ из области определения, эти минимумы являются также и глобальными (абсолютными) минимумами.
Точек максимума у функции нет. Локальных максимумов нет, так как производная не меняет знак с плюса на минус. Глобального максимума нет, так как функция не ограничена сверху (при $x \to \frac{\pi}{2} + \pi n$ значение $y \to +\infty$).
Ответ: точки минимума $x_{min} = \pi n$, значение в минимуме $y_{min} = 0$, где $n \in \mathbb{Z}$. Точек максимума нет.

2.14. $D(x)=\begin{cases} 1, & \text{если } x - \text{рациональное число,} \\ 0, & \text{если } x - \text{иррациональное число.} \end{cases}$

Докажите, что функция Дирихле периодическая.

Чтобы доказать, что функция Дирихле $D(x)$ является периодической, необходимо показать, что существует такое число $T \neq 0$ (период), для которого при любом $x$ из области определения функции выполняется равенство $D(x+T) = D(x)$.

В качестве такого числа $T$ выберем любое ненулевое рациональное число, например, $T = r$, где $r \in \mathbb{Q}$ и $r \neq 0$.

Рассмотрим два случая для $x$.

1. Пусть $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$).

По определению функции Дирихле, $D(x) = 1$.
Сумма двух рациональных чисел ($x$ и $T=r$) также является рациональным числом. То есть, $x+T = x+r \in \mathbb{Q}$.
Следовательно, по определению функции $D(x)$, значение $D(x+T) = D(x+r)$ также равно 1.
Таким образом, в этом случае $D(x+T) = D(x) = 1$.

2. Пусть $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{I}$).

По определению функции Дирихле, $D(x) = 0$.
Сумма иррационального числа ($x$) и ненулевого рационального числа ($T=r$) является иррациональным числом. То есть, $x+T = x+r \in \mathbb{I}$.
Следовательно, по определению функции $D(x)$, значение $D(x+T) = D(x+r)$ равно 0.
Таким образом, в этом случае $D(x+T) = D(x) = 0$.

Мы показали, что для любого ненулевого рационального числа $T$ и для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $D(x+T) = D(x)$. Поскольку мы нашли такое число $T \neq 0$ (на самом деле, любое ненулевое рациональное число является периодом), то функция Дирихле является периодической, что и требовалось доказать.

Ответ: Функция Дирихле является периодической, и любое ненулевое рациональное число $T$ является ее периодом, так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $D(x+T)=D(x)$.

2.15. Число T является периодом функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$. Покажите, что число T также является периодом функций $f_1(x) + f_2(x)$ и $f_1(x) \cdot f_2(x)$.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Также подразумевается, что если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$ и $x-T$ также ей принадлежат.

По условию задачи, число $T$ является периодом для функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$. Это означает, что для любого $x$ из их общей области определения выполняются равенства:

$f_1(x+T) = f_1(x)$

$f_2(x+T) = f_2(x)$

Необходимо доказать, что $T$ также является периодом для суммы и произведения этих функций.

Для функции $f_1(x) + f_2(x)$

Рассмотрим функцию $g(x) = f_1(x) + f_2(x)$. Чтобы доказать, что $T$ является периодом этой функции, нужно показать, что $g(x+T) = g(x)$ для любого $x$ из области определения.

Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:

$g(x+T) = f_1(x+T) + f_2(x+T)$

Используя условия периодичности для функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, мы можем заменить $f_1(x+T)$ на $f_1(x)$ и $f_2(x+T)$ на $f_2(x)$:

$g(x+T) = f_1(x) + f_2(x)$

Поскольку по определению $g(x) = f_1(x) + f_2(x)$, мы получаем:

$g(x+T) = g(x)$

Равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $T$ является периодом функции $f_1(x) + f_2(x)$.

Для функции $f_1(x) \cdot f_2(x)$

Рассмотрим функцию $h(x) = f_1(x) \cdot f_2(x)$. Чтобы доказать, что $T$ является периодом этой функции, нужно показать, что $h(x+T) = h(x)$ для любого $x$ из области определения.

Найдем значение функции $h(x)$ в точке $x+T$:

$h(x+T) = f_1(x+T) \cdot f_2(x+T)$

Используя условия периодичности для функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, мы можем заменить $f_1(x+T)$ на $f_1(x)$ и $f_2(x+T)$ на $f_2(x)$:

$h(x+T) = f_1(x) \cdot f_2(x)$

Поскольку по определению $h(x) = f_1(x) \cdot f_2(x)$, мы получаем:

$h(x+T) = h(x)$

Равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $T$ является периодом функции $f_1(x) \cdot f_2(x)$.

2.16. Докажите, что функция $y = \sin x + \{x\}$ непериодическая. Не противоречит ли это выводам задачи 2.15?

Докажите, что функция $y = \sin x + \{x\}$ непериодическая.

Предположим от противного, что функция $y(x) = \sin x + \{x\}$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$.

По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения (все действительные числа $\mathbb{R}$) должно выполняться равенство:$y(x+T) = y(x)$

Подставив выражение для функции, получим:$\sin(x+T) + \{x+T\} = \sin x + \{x\}$

Перегруппируем слагаемые:$\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x+T\}$

Рассмотрим два возможных случая для периода $T$.

Случай 1: $T$ — целое число.
Если $T$ — целое число, то по свойству дробной части $\{x+T\} = \{x\}$ для любого действительного $x$.
В этом случае равенство принимает вид:$\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x\} = 0$$\sin(x+T) = \sin x$

Это равенство должно выполняться для всех $x$, что означает, что $T$ является периодом функции $\sin x$. Все периоды синуса имеют вид $2\pi k$, где $k$ — ненулевое целое число ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$).
Таким образом, мы приходим к тому, что целое число $T$ должно быть равно $2\pi k$. Однако число $\pi$ иррационально, и, следовательно, произведение $2\pi k$ также иррационально для любого $k \neq 0$. Целое число не может быть равно иррациональному. Это противоречие.
Следовательно, период $T$ не может быть целым числом.

Случай 2: $T$ — нецелое число.
Рассмотрим снова равенство $\sin(x+T) - \sin x = \{x\} - \{x+T\}$.
Левая часть этого равенства, функция $L(x) = \sin(x+T) - \sin x$, является непрерывной на всей числовой оси, так как представляет собой разность двух непрерывных функций.
Правая часть, функция $R(x) = \{x\} - \{x+T\}$, имеет точки разрыва. Функция $\{x\}$ разрывна в каждой целой точке $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для того чтобы равенство $L(x) = R(x)$ выполнялось для всех $x$, функция $R(x)$ также должна быть непрерывной. Проверим непрерывность $R(x)$ в любой целой точке, например, в $x=1$. Для непрерывности в точке $x=1$ необходимо, чтобы пределы функции слева и справа в этой точке были равны.
Найдем односторонние пределы $R(x)$ при $x \to 1$:
Предел справа:$\lim_{x\to 1^+} R(x) = \lim_{x\to 1^+} (\{x\} - \{x+T\})$При $x \to 1^+$, имеем $\{x\} \to 0$. Так как $T$ нецелое, $1+T$ также нецелое, и функция $\{u\}$ непрерывна в точке $u=1+T$. Поэтому $\lim_{x\to 1^+} \{x+T\} = \{1+T\} = \{T\}$.Таким образом, $\lim_{x\to 1^+} R(x) = 0 - \{T\} = -\{T\}$.

Предел слева:$\lim_{x\to 1^-} R(x) = \lim_{x\to 1^-} (\{x\} - \{x+T\})$При $x \to 1^-$, имеем $\{x\} \to 1$. Предел $\lim_{x\to 1^-} \{x+T\}$ по-прежнему равен $\{1+T\} = \{T\}$.Таким образом, $\lim_{x\to 1^-} R(x) = 1 - \{T\}$.

Для непрерывности функции $R(x)$ в точке $x=1$ требуется равенство пределов:$\lim_{x\to 1^+} R(x) = \lim_{x\to 1^-} R(x)$$-\{T\} = 1 - \{T\}$$0 = 1$

Мы получили неверное равенство, что является противоречием. Это означает, что функция $R(x)$ имеет разрыв в точке $x=1$. Следовательно, равенство непрерывной функции $L(x)$ и разрывной функции $R(x)$ не может выполняться для всех значений $x$.
Поскольку оба случая (T — целое и T — нецелое) привели к противоречию, наше первоначальное предположение о существовании периода $T>0$ неверно.
Ответ: Доказано, что функция $y = \sin x + \{x\}$ не является периодической.

Не противоречит ли это выводам задачи 2.15?

Функция $y(x) = \sin x + \{x\}$ является суммой двух периодических функций: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \{x\}$.
Наименьший положительный период функции $f(x) = \sin x$ равен $T_1 = 2\pi$.
Наименьший положительный период функции $g(x) = \{x\}$ равен $T_2 = 1$.

Сумма двух периодических функций с периодами $T_1$ и $T_2$ является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их периодов $T_1/T_2$ является рациональным числом (то есть периоды соизмеримы). Если же отношение периодов иррационально (периоды несоизмеримы), то сумма не будет периодической функцией.

В данном случае отношение периодов равно:$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

Число $2\pi$ является иррациональным. Это означает, что периоды функций $\sin x$ и $\{x\}$ несоизмеримы. Согласно указанной выше теореме, их сумма $y(x) = \sin x + \{x\}$ не является периодической функцией.
Наш результат полностью согласуется с общей теорией периодических функций. Вероятнее всего, в задаче 2.15 рассматривался случай суммы функций с соизмеримыми периодами, где сумма действительно периодична. Например, функция $\sin(2x) + \cos(3x)$ периодична, так как отношение периодов $T_1/T_2 = (\pi)/(2\pi/3) = 3/2$ рационально.

Таким образом, вывод о непериодичности функции $y = \sin x + \{x\}$ не вступает в противоречие с выводами задачи 2.15, а служит иллюстрацией другого случая — случая с несоизмеримыми периодами.

Ответ: Нет, не противоречит. Результат объясняется тем, что отношение периодов функций-слагаемых ($\sin x$ и $\{x\}$) является иррациональным числом. Теорема о периодичности суммы функций, вероятно, обсуждавшаяся в задаче 2.15, применима только для функций с соизмеримыми периодами (рациональным отношением периодов).

2.17. Пусть функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$, определенные на всей числовой прямой, периодические. Периоды этих функций равны $T_1$ и $T_2$ соответственно. Докажите, что если отношение $T_1 : T_2$ является рациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – периодическая функция, а если отношение $T_1 : T_2$ является иррациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – непериодическая функция.

Задача состоит из двух частей. Докажем каждое утверждение отдельно.

Доказательство того, что если отношение $T_1 : T_2$ является рациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – периодическая функция

Пусть функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ имеют периоды $T_1 > 0$ и $T_2 > 0$ соответственно. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняются равенства:
$f_1(x + T_1) = f_1(x)$
$f_2(x + T_2) = f_2(x)$

Рассмотрим сумму этих функций $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$. Нам нужно доказать, что существует такое число $T \neq 0$, что $F(x+T) = F(x)$ для всех $x$.

По условию, отношение периодов $T_1 / T_2$ является рациональным числом. Это значит, что его можно представить в виде дроби двух целых чисел:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа (поскольку периоды положительны).

Из этого соотношения мы можем выразить связь между периодами:
$q \cdot T_1 = p \cdot T_2$

Обозначим это общее значение как $T$. То есть, $T = qT_1 = pT_2$. Поскольку $q, p, T_1, T_2$ — положительные числа, то и $T$ является положительным числом. Теперь проверим, является ли это число $T$ периодом для функции $F(x)$:
$F(x+T) = f_1(x+T) + f_2(x+T)$

Подставим в это выражение значение $T$:
$F(x+T) = f_1(x+qT_1) + f_2(x+pT_2)$

Так как $T_1$ является периодом для $f_1(x)$, то добавление этого периода $q$ раз не изменит значения функции:
$f_1(x+qT_1) = f_1(x)$

Аналогично, так как $T_2$ является периодом для $f_2(x)$, то:
$f_2(x+pT_2) = f_2(x)$

Подставляя эти результаты обратно в выражение для $F(x+T)$, получаем:
$F(x+T) = f_1(x) + f_2(x) = F(x)$

Мы нашли такое число $T = qT_1 = pT_2 \neq 0$, что $F(x+T) = F(x)$ для всех $x$. Это по определению означает, что функция $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$ является периодической. Ее период $T$ является общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$.

Ответ: Доказано, что если отношение периодов функций является рациональным числом, то их сумма является периодической функцией.

Доказательство того, что если отношение $T_1 : T_2$ является иррациональным числом, то сумма $f_1(x) + f_2(x)$ – непериодическая функция

Это утверждение требует некоторых дополнительных предположений, которые обычно подразумеваются в таких задачах: $T_1$ и $T_2$ являются наименьшими положительными (фундаментальными) периодами, а функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ являются непрерывными и не являются тривиальными (например, $f_2(x) = -f_1(x)$, что дало бы в сумме 0, или одна из функций — константа).

Будем доказывать от противного. Предположим, что сумма $F(x) = f_1(x) + f_2(x)$ является периодической функцией с некоторым периодом $T > 0$. Тогда по определению периода:
$F(x+T) = F(x)$ для всех $x$.
$f_1(x+T) + f_2(x+T) = f_1(x) + f_2(x)$

Перегруппируем члены уравнения:
$f_1(x+T) - f_1(x) = -[f_2(x+T) - f_2(x)]$

Обозначим левую часть как $g(x) = f_1(x+T) - f_1(x)$. Проверим периодичность функции $g(x)$.
$g(x+T_1) = f_1((x+T_1)+T) - f_1(x+T_1) = f_1(x+T) - f_1(x) = g(x)$
Следовательно, $g(x)$ имеет период $T_1$.

Так как $g(x) = -[f_2(x+T) - f_2(x)]$, то аналогично можно показать, что $g(x)$ имеет и период $T_2$:
$g(x+T_2) = -[f_2((x+T_2)+T) - f_2(x+T_2)] = -[f_2(x+T) - f_2(x)] = g(x)$

Итак, мы получили, что функция $g(x)$ имеет два периода: $T_1$ и $T_2$. По условию, их отношение $T_1/T_2$ иррационально. Существует теорема, которая гласит, что если непрерывная функция имеет два периода, отношение которых иррационально, то эта функция является константой. Это связано с тем, что множество чисел вида $nT_1 + mT_2$ (где $n,m$ — целые) плотно на числовой прямой, и непрерывная функция, постоянная на плотном множестве, постоянна всюду.

Следовательно, $g(x) = C$ для некоторой константы $C$.
$f_1(x+T) - f_1(x) = C$

Рассмотрим, чему может быть равна эта константа. Из этого равенства следует, что $f_1(x+nT) - f_1(x) = nC$ для любого целого $n$. Поскольку $f_1(x)$ — периодическая функция, она ограничена, то есть существует такое $M > 0$, что $|f_1(x)| \le M$ для всех $x$. Тогда $|f_1(x+nT) - f_1(x)| \le |f_1(x+nT)| + |f_1(x)| \le 2M$. Получаем неравенство $|nC| \le 2M$, которое должно выполняться для всех целых $n$. Это возможно только в одном случае: если $C=0$.

Если $C=0$, то и $g(x)=0$. Это означает, что:
$f_1(x+T) - f_1(x) = 0 \implies f_1(x+T) = f_1(x)$
$-[f_2(x+T) - f_2(x)] = 0 \implies f_2(x+T) = f_2(x)$

Это значит, что $T$ является общим периодом для обеих функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$. Если $T_1$ и $T_2$ — фундаментальные периоды, то любой другой период должен быть им кратен. То есть, должны существовать такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что:
$T = n_1 T_1$
$T = n_2 T_2$

Отсюда следует, что $n_1 T_1 = n_2 T_2$, и, следовательно, $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1}$. Это означает, что отношение $T_1/T_2$ является рациональным числом. Но это прямо противоречит исходному условию, что отношение иррационально.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что функция $F(x)$ является периодической, было неверным.

Ответ: Доказано, что если отношение фундаментальных периодов непрерывных функций иррационально, то их сумма является непериодической функцией.

2.18. Изобразите множество точек координатной плоскости, заданных системой неравенств $\begin{cases} x + 2y \le 4, \\ y < x^2 + 6x - 7. \end{cases}$

2.18. Для того чтобы изобразить множество точек, заданное системой неравенств, необходимо найти на координатной плоскости область, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство системы: $x + 2y \le 4$. Это линейное неравенство. Выразим из него $y$: $2y \le 4 - x$ $y \le -0.5x + 2$ Это неравенство задает полуплоскость, которая находится ниже прямой $y = -0.5x + 2$. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), сама прямая является частью решения и на графике будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство системы: $y < x^2 + 6x - 7$. Это квадратичное неравенство. Оно определяет множество точек, расположенных под параболой $y = x^2 + 6x - 7$. Так как неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой параболе, не входят в решение, поэтому граница будет изображена пунктирной линией. Для построения параболы найдем ее ключевые характеристики: Вершина параболы имеет координаты $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$ и $y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$. Точка вершины: $(-3, -16)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$. Решая уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-7, 0)$. Парабола пересекает ось Oy в точке, где $x=0$, то есть $y = -7$. Точка пересечения: $(0, -7)$.

Решением системы является пересечение областей, удовлетворяющих обоим неравенствам. Искомое множество точек — это область, которая находится одновременно и ниже прямой $y = -0.5x + 2$, и под параболой $y = x^2 + 6x - 7$. Графически это соответствует области, ограниченной сверху "нижней огибающей" двух графиков: прямой и параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это заштрихованная область на представленном графике. Граница области сверху состоит из части сплошной синей прямой $y = -0.5x + 2$ и части пунктирной красной параболы $y = x^2 + 6x - 7$. Область включает точки на сплошной части границы, но не включает точки на пунктирной части.

2.19. Покажите, что выражение $ \left(\sqrt{\sqrt{45} + 2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45} - 2\sqrt{5}}\right)^2 - 6\sqrt{5} $ является рациональным числом.

Чтобы доказать, что данное выражение является рациональным числом, мы его упростим. Обозначим исходное выражение как $E$:

$E = \left(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}\right)^2 - 6\sqrt{5}$

Сначала раскроем квадрат суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае:

$a = \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}$

$b = \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}$

Тогда квадраты этих слагаемых равны:

$a^2 = \left(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45}+2\sqrt{5}$

$b^2 = \left(\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}\right)^2 = \sqrt{45}-2\sqrt{5}$

Теперь вычислим удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}} = 2\sqrt{(\sqrt{45}+2\sqrt{5})(\sqrt{45}-2\sqrt{5})}$

Выражение под внутренним корнем преобразуем по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$(\sqrt{45})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 45 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 45 - (4 \cdot 5) = 45 - 20 = 25$

Значит, $2ab = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.

Теперь сложим все три части, чтобы найти значение квадрата суммы:

$a^2 + b^2 + 2ab = (\sqrt{45}+2\sqrt{5}) + (\sqrt{45}-2\sqrt{5}) + 10$

Упростим, сократив $2\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{5}$:

$\sqrt{45} + \sqrt{45} + 10 = 2\sqrt{45} + 10$

Упростим $\sqrt{45}$, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Тогда $2\sqrt{45} + 10 = 2(3\sqrt{5}) + 10 = 6\sqrt{5} + 10$.

Мы нашли значение выражения в скобках, возведенного в квадрат. Теперь подставим его в исходное выражение $E$:

$E = (6\sqrt{5} + 10) - 6\sqrt{5}$

После вычитания $6\sqrt{5}$ получаем:

$E = 10$

Результатом вычислений является число 10. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $10 = \frac{10}{1}$). Следовательно, исходное выражение является рациональным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 10.

2.20. Добавив несколько литров воды к 4 л 10%-й кислоты, получили 4%-ю кислоту. Сколько литров воды добавили?

Для решения этой задачи необходимо определить, какое количество чистой кислоты содержится в исходном растворе. Это количество не изменится при добавлении воды.

1. Найдем объем чистой кислоты в 4 литрах 10%-го раствора.

Концентрация 10% означает, что кислота составляет 0.10 от общего объема.

Объем кислоты = $4 \text{ л} \times 0.10 = 0.4 \text{ л}$.

2. Обозначим количество добавленной воды через $x$ литров.

После добавления воды общий объем нового раствора станет $(4 + x)$ литров.

Объем чистой кислоты в новом растворе остался прежним – 0.4 л, а концентрация стала 4% или 0.04.

3. Составим уравнение, исходя из того, что концентрация – это отношение объема чистого вещества к общему объему раствора:

$\frac{0.4}{4 + x} = 0.04$

4. Решим уравнение относительно $x$:

$0.4 = 0.04 \times (4 + x)$

$0.4 = 0.16 + 0.04x$

$0.4 - 0.16 = 0.04x$

$0.24 = 0.04x$

$x = \frac{0.24}{0.04}$

$x = 6$

Следовательно, было добавлено 6 литров воды.

Ответ: было добавлено 6 литров воды.