Номер 2.12, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Сколько корней имеет уравнение:

1) $ \sin x = 0.5x $;

2) $ \sin x = x $;

3) $ \cos x = x^2 $;

4) $ \tan x = kx + b $?

Решите графически.

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) sin x = 0,5x;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = 0,5x$.

$y = \sin x$ — это синусоида, ограниченная по оси $y$ значениями от -1 до 1.

$y = 0,5x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент прямой равен 0,5.

Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках. Одна точка — это начало координат (x=0). Так как обе функции нечетные ($f(-x) = -f(x)$), их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому, кроме корня $x=0$, существует еще один положительный корень и один отрицательный, равный ему по модулю. Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: 3 корня.

2) sin x = x;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = x$.

$y = \sin x$ — синусоида.

$y = x$ — прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Прямая $y = x$ является касательной к графику $y = \sin x$ в точке $x=0$. При $x>0$ выполняется неравенство $\sin x < x$, а при $x<0$ — $\sin x > x$. Следовательно, графики имеют только одну общую точку в начале координат.

Ответ: 1 корень.

3) cos x = x²;

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x^2$.

$y = \cos x$ — косинусоида.

$y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Обе функции, $y=\cos x$ и $y=x^2$, являются четными, поэтому их графики симметричны относительно оси $y$. Для $x > 0$ парабола $y=x^2$ возрастает от 0, а косинусоида $y=\cos x$ убывает от 1. Они пересекаются в одной точке. В силу симметрии, существует и вторая точка пересечения для $x < 0$. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.

4) tg x = kx + b?

Рассмотрим графики функций $y = \text{tg } x$ и $y = kx + b$.

$y = \text{tg } x$ — тангенсоида. Эта функция является периодической с периодом $\pi$ и имеет бесконечное число ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число.

$y = kx + b$ — прямая линия с угловым коэффициентом $k$ и сдвигом $b$ по оси $y$.

На каждом интервале вида $(\frac{\pi}{2} + n\pi, \frac{\pi}{2} + (n+1)\pi)$ функция $y = \text{tg } x$ непрерывна и её значения изменяются от $-\infty$ до $+\infty$. Прямая $y = kx+b$ является неограниченной функцией. Какую бы прямую мы ни провели, она обязательно пересечет каждую из бесконечного числа ветвей тангенсоиды. Это означает, что при любых значениях параметров $k$ и $b$ уравнение будет иметь бесконечное число корней.

Ответ: бесконечно много корней.