Номер 2.18, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Изобразите множество точек координатной плоскости, заданных системой неравенств $\begin{cases} x + 2y \le 4, \\ y < x^2 + 6x - 7. \end{cases}$

2.18. Для того чтобы изобразить множество точек, заданное системой неравенств, необходимо найти на координатной плоскости область, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство системы: $x + 2y \le 4$. Это линейное неравенство. Выразим из него $y$: $2y \le 4 - x$ $y \le -0.5x + 2$ Это неравенство задает полуплоскость, которая находится ниже прямой $y = -0.5x + 2$. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), сама прямая является частью решения и на графике будет изображена сплошной линией.

Второе неравенство системы: $y < x^2 + 6x - 7$. Это квадратичное неравенство. Оно определяет множество точек, расположенных под параболой $y = x^2 + 6x - 7$. Так как неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой параболе, не входят в решение, поэтому граница будет изображена пунктирной линией. Для построения параболы найдем ее ключевые характеристики: Вершина параболы имеет координаты $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$ и $y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$. Точка вершины: $(-3, -16)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$. Решая уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-7, 0)$. Парабола пересекает ось Oy в точке, где $x=0$, то есть $y = -7$. Точка пересечения: $(0, -7)$.

Решением системы является пересечение областей, удовлетворяющих обоим неравенствам. Искомое множество точек — это область, которая находится одновременно и ниже прямой $y = -0.5x + 2$, и под параболой $y = x^2 + 6x - 7$. Графически это соответствует области, ограниченной сверху "нижней огибающей" двух графиков: прямой и параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это заштрихованная область на представленном графике. Граница области сверху состоит из части сплошной синей прямой $y = -0.5x + 2$ и части пунктирной красной параболы $y = x^2 + 6x - 7$. Область включает точки на сплошной части границы, но не включает точки на пунктирной части.