Номер 2.15, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.15. Число T является периодом функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$. Покажите, что число T также является периодом функций $f_1(x) + f_2(x)$ и $f_1(x) \cdot f_2(x)$.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Также подразумевается, что если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$ и $x-T$ также ей принадлежат.

По условию задачи, число $T$ является периодом для функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$. Это означает, что для любого $x$ из их общей области определения выполняются равенства:

$f_1(x+T) = f_1(x)$

$f_2(x+T) = f_2(x)$

Необходимо доказать, что $T$ также является периодом для суммы и произведения этих функций.

Для функции $f_1(x) + f_2(x)$

Рассмотрим функцию $g(x) = f_1(x) + f_2(x)$. Чтобы доказать, что $T$ является периодом этой функции, нужно показать, что $g(x+T) = g(x)$ для любого $x$ из области определения.

Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:

$g(x+T) = f_1(x+T) + f_2(x+T)$

Используя условия периодичности для функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, мы можем заменить $f_1(x+T)$ на $f_1(x)$ и $f_2(x+T)$ на $f_2(x)$:

$g(x+T) = f_1(x) + f_2(x)$

Поскольку по определению $g(x) = f_1(x) + f_2(x)$, мы получаем:

$g(x+T) = g(x)$

Равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $T$ является периодом функции $f_1(x) + f_2(x)$.

Для функции $f_1(x) \cdot f_2(x)$

Рассмотрим функцию $h(x) = f_1(x) \cdot f_2(x)$. Чтобы доказать, что $T$ является периодом этой функции, нужно показать, что $h(x+T) = h(x)$ для любого $x$ из области определения.

Найдем значение функции $h(x)$ в точке $x+T$:

$h(x+T) = f_1(x+T) \cdot f_2(x+T)$

Используя условия периодичности для функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$, мы можем заменить $f_1(x+T)$ на $f_1(x)$ и $f_2(x+T)$ на $f_2(x)$:

$h(x+T) = f_1(x) \cdot f_2(x)$

Поскольку по определению $h(x) = f_1(x) \cdot f_2(x)$, мы получаем:

$h(x+T) = h(x)$

Равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $T$ является периодом функции $f_1(x) \cdot f_2(x)$.