gdz.top
Номер 2.14, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 2. Тригонометрические функции. 2.1. Исследование свойств основных тригонометрических функций - номер 2.14, страница 59.
№2.13
№2.14 (с. 59)
Учебник рус. №2.14 (с. 59)
2.14. $D(x)=\begin{cases} 1, & \text{если } x - \text{рациональное число,} \\ 0, & \text{если } x - \text{иррациональное число.} \end{cases}$
Докажите, что функция Дирихле периодическая.
Учебник кз. №2.14 (с. 59)
Решение. №2.14 (с. 59)
Решение 2 (rus). №2.14 (с. 59)
Чтобы доказать, что функция Дирихле $D(x)$ является периодической, необходимо показать, что существует такое число $T \neq 0$ (период), для которого при любом $x$ из области определения функции выполняется равенство $D(x+T) = D(x)$.
В качестве такого числа $T$ выберем любое ненулевое рациональное число, например, $T = r$, где $r \in \mathbb{Q}$ и $r \neq 0$.
Рассмотрим два случая для $x$.
1. Пусть $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$).
По определению функции Дирихле, $D(x) = 1$.
Сумма двух рациональных чисел ($x$ и $T=r$) также является рациональным числом. То есть, $x+T = x+r \in \mathbb{Q}$.
Следовательно, по определению функции $D(x)$, значение $D(x+T) = D(x+r)$ также равно 1.
Таким образом, в этом случае $D(x+T) = D(x) = 1$.
2. Пусть $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{I}$).
По определению функции Дирихле, $D(x) = 0$.
Сумма иррационального числа ($x$) и ненулевого рационального числа ($T=r$) является иррациональным числом. То есть, $x+T = x+r \in \mathbb{I}$.
Следовательно, по определению функции $D(x)$, значение $D(x+T) = D(x+r)$ равно 0.
Таким образом, в этом случае $D(x+T) = D(x) = 0$.
Мы показали, что для любого ненулевого рационального числа $T$ и для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $D(x+T) = D(x)$. Поскольку мы нашли такое число $T \neq 0$ (на самом деле, любое ненулевое рациональное число является периодом), то функция Дирихле является периодической, что и требовалось доказать.
Ответ: Функция Дирихле является периодической, и любое ненулевое рациональное число $T$ является ее периодом, так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $D(x+T)=D(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 2.14 расположенного на странице 59 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.14 (с. 59), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.