Номер 2.7, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.7. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{\sin x}$;

2) $y=\sqrt{\sin(-x)}$;

3) $y=\sqrt{\cos(-x)}$;

4) $y=\sqrt{-\text{tg}(-x)}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{\sin x}$ задается неравенством, согласно которому выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство $\sin x \ge 0$.
Функция синус принимает неотрицательные значения в первой и второй координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $0$ до $\pi$.
Учитывая периодичность синуса, которая равна $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:
$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = \sqrt{\sin(-x)}$ область определения находится из условия $\sin(-x) \ge 0$.
Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.
Подставив это в наше неравенство, получаем $-\sin x \ge 0$, что эквивалентно $\sin x \le 0$.
Функция синус принимает неположительные значения в третьей и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $\pi$ до $2\pi$.
С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства:
$\pi + 2\pi k \le x \le 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\cos(-x)}$ задается условием $\cos(-x) \ge 0$.
Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos x$.
Таким образом, неравенство принимает вид $\cos x \ge 0$.
Функция косинус принимает неотрицательные значения в первой и четвертой координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
Учитывая периодичность косинуса, которая равна $2\pi$, общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{-\tg(-x)}$ необходимо выполнение двух условий. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\tg(-x) \ge 0$. Во-вторых, сам тангенс должен быть определен.
Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-x) = -\tg x$. Подставим это в неравенство:
$-(-\tg x) \ge 0$
$\tg x \ge 0$
Неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется, когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки, то есть в первой и третьей координатных четвертях. При этом тангенс не определен в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решением неравенства $\tg x \ge 0$ являются промежутки, где $x$ принадлежит $[k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$. Это решение уже исключает точки, в которых тангенс не определен.
Ответ: $x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi), k \in \mathbb{Z}$.