Номер 2.10, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10.Укажите части промежутка (1; 3), в которых функция $y = \sin\frac{1-3x}{6}\pi$ принимает положительные и отрицательные значения. Имеет ли эта функция нули на этом промежутке?

Для определения знаков функции $y = \sin\left(\frac{1-3x}{6}\pi\right)$ на промежутке $(1; 3)$, а также для нахождения ее нулей, исследуем поведение аргумента функции $t = \frac{1-3x}{6}\pi$.

1. Найдем область значений аргумента $t$, когда $x \in (1; 3)$.

Функция $t(x)$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($-\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$), следовательно, она убывает на всей области определения. Найдем значения $t$ на границах интервала $(1; 3)$:

При $x = 1$, $t = \frac{1-3(1)}{6}\pi = \frac{-2}{6}\pi = -\frac{\pi}{3}$.

При $x = 3$, $t = \frac{1-3(3)}{6}\pi = \frac{1-9}{6}\pi = \frac{-8}{6}\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

Поскольку функция $t(x)$ убывающая, то при $x \in (1; 3)$ аргумент $t$ будет принадлежать интервалу $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

2. Теперь проанализируем знак функции $y = \sin(t)$ на интервале $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

Положительные значения

Функция $y = \sin(t)$ принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее аргумент $t$ находится в интервалах вида $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих интервалов с нашим интервалом $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

При $k = -1$ получаем интервал $(-2\pi; -\pi)$.

Пересечение $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}) \cap (-2\pi; -\pi)$ дает нам интервал $(-\frac{4\pi}{3}; -\pi)$.

Таким образом, $y > 0$ при $-\frac{4\pi}{3} < t < -\pi$.

Чтобы найти соответствующие значения $x$, решим двойное неравенство:

$-\frac{4\pi}{3} < \frac{1-3x}{6}\pi < -\pi$

Умножим все части неравенства на $\frac{6}{\pi}$:

$-8 < 1-3x < -6$

Вычтем 1 из всех частей:

$-9 < -3x < -7$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства на противоположные:

$3 > x > \frac{7}{3}$, что можно записать как $\frac{7}{3} < x < 3$.

Ответ: функция принимает положительные значения на промежутке $(\frac{7}{3}; 3)$.

Отрицательные значения

Функция $y = \sin(t)$ принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее аргумент $t$ находится в интервалах вида $(\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих интервалов с нашим интервалом $t \in (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

При $k = -1$ получаем интервал $(-\pi; 0)$.

Пересечение $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}) \cap (-\pi; 0)$ дает нам интервал $(-\pi; -\frac{\pi}{3})$.

Таким образом, $y < 0$ при $-\pi < t < -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти соответствующие значения $x$, решим двойное неравенство:

$-\pi < \frac{1-3x}{6}\pi < -\frac{\pi}{3}$

Умножим все части неравенства на $\frac{6}{\pi}$:

$-6 < 1-3x < -2$

Вычтем 1 из всех частей:

$-7 < -3x < -3$

Разделим все части на -3 и сменим знаки неравенства на противоположные:

$\frac{7}{3} > x > 1$, что можно записать как $1 < x < \frac{7}{3}$.

Ответ: функция принимает отрицательные значения на промежутке $(1; \frac{7}{3})$.

Нули функции

Функция равна нулю, когда $y = \sin(t) = 0$. Это происходит при $t = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Мы должны найти такое целое $k$, чтобы значение $t = k\pi$ попало в наш интервал $(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

$-\frac{4\pi}{3} < k\pi < -\frac{\pi}{3}$

Разделим на $\pi$:

$-\frac{4}{3} < k < -\frac{1}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = -1$.

Следовательно, на данном промежутке функция имеет нуль при $t = -\pi$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$\frac{1-3x}{6}\pi = -\pi$

$\frac{1-3x}{6} = -1$

$1-3x = -6$

$-3x = -7$

$x = \frac{7}{3}$

Проверим, принадлежит ли эта точка исходному промежутку: $1 < \frac{7}{3} < 3$ (поскольку $3/3 < 7/3 < 9/3$). Да, принадлежит.

Ответ: да, функция имеет один нуль на промежутке $(1; 3)$ в точке $x = \frac{7}{3}$.