Номер 2.3, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. Какое из указанных чисел больше:

1) $\sin 1^\circ$ или $\sin 1$;

2) $\cos 2^\circ$ или $\cos 2$;

3) $\sin 3^\circ$ или $\sin 3$;

4) $\cos 3.5$ или $\cos 6.5$?

1) sin 1° или sin 1

Для сравнения значений тригонометрических функций необходимо привести углы к одной единице измерения. Если у числа не указан знак градуса (°), то по умолчанию угол измеряется в радианах.

Переведем 1 радиан в градусы. Мы знаем, что $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $. Тогда 1 радиан = $ \frac{180^\circ}{\pi} $. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $, получаем: $ 1 \text{ рад} \approx \frac{180^\circ}{3,14159} \approx 57,3^\circ $.

Теперь нам нужно сравнить $ \sin 1^\circ $ и $ \sin 57,3^\circ $. Оба угла, $ 1^\circ $ и $ 57,3^\circ $, находятся в первой четверти (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). В первой четверти функция $ y = \sin x $ возрастает. Это означает, что для $ 0 < x_1 < x_2 < 90^\circ $ выполняется неравенство $ \sin x_1 < \sin x_2 $. Поскольку $ 1^\circ < 57,3^\circ $, то $ \sin 1^\circ < \sin 57,3^\circ $. Следовательно, $ \sin 1^\circ < \sin 1 $.

Ответ: $ \sin 1 $ больше, чем $ \sin 1^\circ $.

2) cos 2° или cos 2

Сравниваем $ \cos 2^\circ $ и $ \cos 2 $ (в радианах).

Переведем 2 радиана в градусы: $ 2 \text{ рад} = 2 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 2 \times 57,3^\circ = 114,6^\circ $.

Теперь сравним $ \cos 2^\circ $ и $ \cos 114,6^\circ $. Угол $ 2^\circ $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < 2^\circ < 90^\circ $), где косинус положителен: $ \cos 2^\circ > 0 $. Угол $ 114,6^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 114,6^\circ < 180^\circ $), где косинус отрицателен: $ \cos 114,6^\circ < 0 $.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $ \cos 2^\circ > \cos 114,6^\circ $, что означает $ \cos 2^\circ > \cos 2 $.

Ответ: $ \cos 2^\circ $ больше, чем $ \cos 2 $.

3) sin 3° или sin 3

Сравниваем $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 3 $ (в радианах).

Переведем 3 радиана в градусы: $ 3 \text{ рад} = 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 3 \times 57,3^\circ = 171,9^\circ $.

Теперь сравним $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 171,9^\circ $. Угол $ 3^\circ $ находится в первой четверти, и $ \sin 3^\circ > 0 $. Угол $ 171,9^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 171,9^\circ < 180^\circ $), где синус также положителен: $ \sin 171,9^\circ > 0 $.

Чтобы сравнить эти два положительных значения, воспользуемся формулой приведения: $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $. $ \sin 171,9^\circ = \sin(180^\circ - 171,9^\circ) = \sin 8,1^\circ $. Теперь задача сводится к сравнению $ \sin 3^\circ $ и $ \sin 8,1^\circ $. Оба угла, $ 3^\circ $ и $ 8,1^\circ $, находятся в первой четверти, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Поскольку $ 3^\circ < 8,1^\circ $, то $ \sin 3^\circ < \sin 8,1^\circ $. Следовательно, $ \sin 3^\circ < \sin 171,9^\circ $, что означает $ \sin 3^\circ < \sin 3 $.

Ответ: $ \sin 3 $ больше, чем $ \sin 3^\circ $.

4) cos 3,5 или cos 6,5?

В этом случае оба угла заданы в радианах. Сравним $ \cos 3,5 $ и $ \cos 6,5 $.

Определим, в каких четвертях лежат углы 3,5 радиан и 6,5 радиан. Используем приближенные значения $ \pi \approx 3,14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $ и $ 2\pi \approx 6,28 $.

Для угла 3,5 радиан: Поскольку $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, то $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол 3,5 радиан находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус отрицателен: $ \cos 3,5 < 0 $.

Для угла 6,5 радиан: Поскольку $ 6,5 > 2\pi \approx 6,28 $, мы можем рассмотреть угол, который отличается от данного на полный оборот $ 2\pi $. $ 6,5 - 2\pi \approx 6,5 - 6,28 = 0,22 $. Угол 0,22 радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 0,22 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Косинус в первой четверти положителен, поэтому $ \cos 6,5 = \cos(6,5 - 2\pi) > 0 $.

Сравнивая $ \cos 3,5 $ (отрицательное число) и $ \cos 6,5 $ (положительное число), мы заключаем, что $ \cos 6,5 > \cos 3,5 $.

Ответ: $ \cos 6,5 $ больше, чем $ \cos 3,5 $.