Номер 1.104, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Решите уравнение:

1) $(6x - 2)^3 - 6x + 2 = 0;$

2) $(2x - 3)^2 = 2x - 1.$

1) $(6x - 2)^3 - 6x + 2 = 0$

Для решения данного уравнения преобразуем его. Вынесем $-1$ за скобки в последних двух слагаемых:

$(6x - 2)^3 - (6x - 2) = 0$

Это уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $y = 6x - 2$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^3 - y = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$y(y - 1)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 - 1 = 0 \implies y_2 = 1$

$y_3 + 1 = 0 \implies y_3 = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти соответствующие значения $x$.

1. Если $y = 0$, то $6x - 2 = 0$. Решаем это линейное уравнение: $6x = 2$, откуда $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. Если $y = 1$, то $6x - 2 = 1$. Решаем уравнение: $6x = 3$, откуда $x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Если $y = -1$, то $6x - 2 = -1$. Решаем уравнение: $6x = 1$, откуда $x = \frac{1}{6}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{6}, x_2 = \frac{1}{3}, x_3 = \frac{1}{2}$.

2) $(2x - 3)^2 = 2x - 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 2x - 1$

$4x^2 - 12x + 9 = 2x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 12x - 2x + 9 + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 14x + 10 = 0$

Все коэффициенты уравнения четные, поэтому для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$2x^2 - 7x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-7) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2.5$.