Номер 1.97, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.97. Постройте в одной системе координат график функции, данной в задаче 1.96, и график функции, обратной ей.

Задача состоит в том, чтобы для функций, заданных в задаче 1.96, найти обратные им функции и построить графики исходной и обратной функций в одной системе координат. Предположим, что в задаче 1.96 были даны следующие функции:

а) $y = 2x+1$

Исходная функция — линейная: $y = 2x + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения функции:

$y = 2x + 1$

$2x = y - 1$

$x = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции $g(x)$:

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Построим графики исходной функции $y=2x+1$ (синяя линия) и обратной ей функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (красная линия). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Графики представлены на рисунке.

б) $y = -\frac{1}{2}x - 3$

Исходная функция — линейная: $y = -\frac{1}{2}x - 3$.

Найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:

$y + 3 = -\frac{1}{2}x$

$x = -2(y+3)$

$x = -2y - 6$

Меняем $x$ и $y$ местами: $y = -2x - 6$.

Построим графики функций $y = -\frac{1}{2}x - 3$ (синяя линия) и $y = -2x - 6$ (красная линия). Они также симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = -2x - 6$. Графики представлены на рисунке.

в) $y = \frac{1}{x}$

Исходная функция — гипербола: $y = \frac{1}{x}$. Область определения и область значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{1}{y}$.

Поменяв $x$ и $y$ местами, получаем: $y = \frac{1}{x}$.

Обратная функция совпадает с исходной. Следовательно, их графики также совпадают. График этой функции (гипербола) симметричен сам себе относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{x}$. График обратной функции совпадает с графиком исходной.

г) $y = \sqrt{x}$

Исходная функция: $y = \sqrt{x}$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$. Возведем обе части в квадрат (это преобразование является равносильным, так как $y \ge 0$):

$y^2 = x$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получим $y = x^2$. Область определения обратной функции должна совпадать с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$. Таким образом, обратная функция: $y=x^2, \text{при } x \ge 0$.

Построим график $y=\sqrt{x}$ (синяя кривая) и график обратной функции $y=x^2, x \ge 0$ (красная кривая). Графики симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y=x^2$ при $x \ge 0$. Графики представлены на рисунке.