Номер 1.96, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96. Найдите функцию, обратную функции:

1) $f(x) = \frac{3}{2x-1}$;

2) $y = x^2 - 4, x > 0$;

3) $y = x^2 - 4x + 3, x > 2$;

4) $y = \sqrt{25-x^2}, 0 \le x \le 5$.

1) Исходная функция: $y = \frac{3}{2x-1}$.

Для нахождения обратной функции, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$x = \frac{3}{2y-1}$

Далее, выражаем $y$ из этого уравнения:

$x(2y-1) = 3$

$2xy - x = 3$

$2xy = x+3$

$y = \frac{x+3}{2x}$

Это и есть обратная функция.

Ответ: $y = \frac{x+3}{2x}$

2) Исходная функция: $y = x^2 - 4$, при $x > 0$.

Область определения исходной функции $D(y) = (0, +\infty)$. Область значений $E(y) = (-4, +\infty)$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 4$

Выражаем $y$:

$y^2 = x + 4$

$y = \pm\sqrt{x+4}$

Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной функции, то есть $y > 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "+".

$y = \sqrt{x+4}$

Областью определения этой обратной функции будет область значений исходной функции, то есть $x > -4$.

Ответ: $y = \sqrt{x+4}$

3) Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 3$, при $x > 2$.

Сначала выделим полный квадрат для удобства:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$

Область определения исходной функции $D(y) = (2, +\infty)$. Область значений, при $x>2$, $x-2>0$, $(x-2)^2>0$, значит $y > -1$. То есть, $E(y) = (-1, +\infty)$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = (y-2)^2 - 1$

Выражаем $y$:

$(y-2)^2 = x + 1$

$y-2 = \pm\sqrt{x+1}$

$y = 2 \pm\sqrt{x+1}$

Так как область значений обратной функции должна быть $y > 2$ (совпадать с областью определения исходной), мы выбираем знак "+", потому что $2 + \sqrt{x+1} > 2$.

$y = 2 + \sqrt{x+1}$

Ответ: $y = 2 + \sqrt{x+1}$

4) Исходная функция: $y = \sqrt{25-x^2}$, при $0 \le x \le 5$.

Область определения $D(y) = [0, 5]$. Область значений $E(y) = [0, 5]$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = \sqrt{25-y^2}$

Так как $x$ равен корню, $x \ge 0$. С учетом области значений исходной функции, область определения обратной функции будет $0 \le x \le 5$. Возводим обе части в квадрат:

$x^2 = 25 - y^2$

Выражаем $y$:

$y^2 = 25 - x^2$

$y = \pm\sqrt{25-x^2}$

Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной, то есть $0 \le y \le 5$. Поэтому мы должны выбрать знак "+".

$y = \sqrt{25-x^2}$

Обратная функция имеет то же выражение, что и исходная. Ее область определения $D(y) = [0, 5]$.

Ответ: $y = \sqrt{25-x^2}$