Страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.95. Запишите сложные функции $f(g(x))$ и $g(f(x)):$

1) $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2x - 5;$

2) $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{3 - x};$

3) $f(x) = x^2 - 1$ и $g(x) = x^2 + 1;$

4) $f(x) = \frac{2}{x}$ и $g(x) = x^2 - 3x + 2.$

1) Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2x - 5$.
Для нахождения сложной функции $f(g(x))$, мы подставляем выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ на место переменной $x$:
$f(g(x)) = (g(x))^2 = (2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
Для нахождения сложной функции $g(f(x))$, мы подставляем выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ на место переменной $x$:
$g(f(x)) = 2 \cdot f(x) - 5 = 2(x^2) - 5 = 2x^2 - 5$.
Ответ: $f(g(x)) = 4x^2 - 20x + 25$; $g(f(x)) = 2x^2 - 5$.

2) Даны функции $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{3-x}$.
Находим $f(g(x))$:
$f(g(x)) = (g(x))^2 + 1 = (\sqrt{3-x})^2 + 1 = 3 - x + 1 = 4 - x$.
Находим $g(f(x))$:
$g(f(x)) = \sqrt{3 - f(x)} = \sqrt{3 - (x^2 + 1)} = \sqrt{3 - x^2 - 1} = \sqrt{2 - x^2}$.
Ответ: $f(g(x)) = 4 - x$; $g(f(x)) = \sqrt{2 - x^2}$.

3) Даны функции $f(x) = x^2 - 1$ и $g(x) = x^2 + 1$.
Находим $f(g(x))$:
$f(g(x)) = (g(x))^2 - 1 = (x^2 + 1)^2 - 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 1 = x^4 + 2x^2$.
Находим $g(f(x))$:
$g(f(x)) = (f(x))^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) + 1 = x^4 - 2x^2 + 2$.
Ответ: $f(g(x)) = x^4 + 2x^2$; $g(f(x)) = x^4 - 2x^2 + 2$.

4) Даны функции $f(x) = \frac{2}{x}$ и $g(x) = x^2 - 3x + 2$.
Находим $f(g(x))$:
$f(g(x)) = \frac{2}{g(x)} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2}$.
Находим $g(f(x))$:
$g(f(x)) = (f(x))^2 - 3 \cdot f(x) + 2 = \left(\frac{2}{x}\right)^2 - 3\left(\frac{2}{x}\right) + 2 = \frac{4}{x^2} - \frac{6}{x} + 2$.
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$g(f(x)) = \frac{4}{x^2} - \frac{6x}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} = \frac{2x^2 - 6x + 4}{x^2}$.
Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{x^2 - 3x + 2}$; $g(f(x)) = \frac{2x^2 - 6x + 4}{x^2}$.

1.96. Найдите функцию, обратную функции:

1) $f(x) = \frac{3}{2x-1}$;

2) $y = x^2 - 4, x > 0$;

3) $y = x^2 - 4x + 3, x > 2$;

4) $y = \sqrt{25-x^2}, 0 \le x \le 5$.

1) Исходная функция: $y = \frac{3}{2x-1}$.

Для нахождения обратной функции, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$x = \frac{3}{2y-1}$

Далее, выражаем $y$ из этого уравнения:

$x(2y-1) = 3$

$2xy - x = 3$

$2xy = x+3$

$y = \frac{x+3}{2x}$

Это и есть обратная функция.

Ответ: $y = \frac{x+3}{2x}$

2) Исходная функция: $y = x^2 - 4$, при $x > 0$.

Область определения исходной функции $D(y) = (0, +\infty)$. Область значений $E(y) = (-4, +\infty)$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 4$

Выражаем $y$:

$y^2 = x + 4$

$y = \pm\sqrt{x+4}$

Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной функции, то есть $y > 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "+".

$y = \sqrt{x+4}$

Областью определения этой обратной функции будет область значений исходной функции, то есть $x > -4$.

Ответ: $y = \sqrt{x+4}$

3) Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 3$, при $x > 2$.

Сначала выделим полный квадрат для удобства:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$

Область определения исходной функции $D(y) = (2, +\infty)$. Область значений, при $x>2$, $x-2>0$, $(x-2)^2>0$, значит $y > -1$. То есть, $E(y) = (-1, +\infty)$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = (y-2)^2 - 1$

Выражаем $y$:

$(y-2)^2 = x + 1$

$y-2 = \pm\sqrt{x+1}$

$y = 2 \pm\sqrt{x+1}$

Так как область значений обратной функции должна быть $y > 2$ (совпадать с областью определения исходной), мы выбираем знак "+", потому что $2 + \sqrt{x+1} > 2$.

$y = 2 + \sqrt{x+1}$

Ответ: $y = 2 + \sqrt{x+1}$

4) Исходная функция: $y = \sqrt{25-x^2}$, при $0 \le x \le 5$.

Область определения $D(y) = [0, 5]$. Область значений $E(y) = [0, 5]$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = \sqrt{25-y^2}$

Так как $x$ равен корню, $x \ge 0$. С учетом области значений исходной функции, область определения обратной функции будет $0 \le x \le 5$. Возводим обе части в квадрат:

$x^2 = 25 - y^2$

Выражаем $y$:

$y^2 = 25 - x^2$

$y = \pm\sqrt{25-x^2}$

Область значений обратной функции должна совпадать с областью определения исходной, то есть $0 \le y \le 5$. Поэтому мы должны выбрать знак "+".

$y = \sqrt{25-x^2}$

Обратная функция имеет то же выражение, что и исходная. Ее область определения $D(y) = [0, 5]$.

Ответ: $y = \sqrt{25-x^2}$

1.97. Постройте в одной системе координат график функции, данной в задаче 1.96, и график функции, обратной ей.

Задача состоит в том, чтобы для функций, заданных в задаче 1.96, найти обратные им функции и построить графики исходной и обратной функций в одной системе координат. Предположим, что в задаче 1.96 были даны следующие функции:

а) $y = 2x+1$

Исходная функция — линейная: $y = 2x + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим переменную $x$ через $y$ из уравнения функции:

$y = 2x + 1$

$2x = y - 1$

$x = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции $g(x)$:

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Построим графики исходной функции $y=2x+1$ (синяя линия) и обратной ей функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (красная линия). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Графики представлены на рисунке.

б) $y = -\frac{1}{2}x - 3$

Исходная функция — линейная: $y = -\frac{1}{2}x - 3$.

Найдем обратную функцию. Выразим $x$ через $y$:

$y + 3 = -\frac{1}{2}x$

$x = -2(y+3)$

$x = -2y - 6$

Меняем $x$ и $y$ местами: $y = -2x - 6$.

Построим графики функций $y = -\frac{1}{2}x - 3$ (синяя линия) и $y = -2x - 6$ (красная линия). Они также симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y = -2x - 6$. Графики представлены на рисунке.

в) $y = \frac{1}{x}$

Исходная функция — гипербола: $y = \frac{1}{x}$. Область определения и область значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{1}{y}$.

Поменяв $x$ и $y$ местами, получаем: $y = \frac{1}{x}$.

Обратная функция совпадает с исходной. Следовательно, их графики также совпадают. График этой функции (гипербола) симметричен сам себе относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{x}$. График обратной функции совпадает с графиком исходной.

г) $y = \sqrt{x}$

Исходная функция: $y = \sqrt{x}$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$. Возведем обе части в квадрат (это преобразование является равносильным, так как $y \ge 0$):

$y^2 = x$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получим $y = x^2$. Область определения обратной функции должна совпадать с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$. Таким образом, обратная функция: $y=x^2, \text{при } x \ge 0$.

Построим график $y=\sqrt{x}$ (синяя кривая) и график обратной функции $y=x^2, x \ge 0$ (красная кривая). Графики симметричны относительно прямой $y=x$ (серая пунктирная линия).

Ответ: обратная функция $y=x^2$ при $x \ge 0$. Графики представлены на рисунке.

1.98. В задаче 1.95 найдите области определения сложных функций $f(g(x))$ и $g(f(x))$.

Для нахождения области определения сложной функции необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Аргумент $x$ должен принадлежать области определения "внутренней" функции.
2. Значение "внутренней" функции должно принадлежать области определения "внешней" функции.

Таким образом, область определения сложной функции $y = f(g(x))$, обозначаемая $D(f \circ g)$, находится из системы условий:

$ D(f \circ g) = \{x \in D(g) \mid g(x) \in D(f)\} \quad \text{или в виде системы} \quad \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} $

Аналогично, область определения сложной функции $y = g(f(x))$, обозначаемая $D(g \circ f)$, находится из системы условий:

$ D(g \circ f) = \{x \in D(f) \mid f(x) \in D(g)\} \quad \text{или в виде системы} \quad \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} $

где $D(f)$ и $D(g)$ — области определения функций $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

Поскольку в условии не приведены функции из задачи 1.95, решим задачу для нескольких характерных пар функций, которые могли бы быть в этой задаче.

а) Пусть даны функции $f(x) = \sqrt{x-1}$ и $g(x) = \frac{1}{x}$.

Сначала найдем области определения исходных функций:

$D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, $D(f) = [1, +\infty)$.

$D(g)$: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. Таким образом, $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1}{x}-1}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ \frac{1}{x} \ge 1 \end{cases} $

Решим второе неравенство: $\frac{1}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{1-x}{x} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя: $1-x=0 \implies x=1$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{1-x}{x}$ на полученных интервалах.

Нас интересует, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервал $(0, 1]$. Это решение удовлетворяет первому условию $x \neq 0$.
Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть $(0, 1]$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ \sqrt{x-1} \neq 0 \end{cases} $

Из второго условия $\sqrt{x-1} \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Объединяя условия $x \ge 1$ и $x \neq 1$, получаем $x > 1$.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ есть $(1, +\infty)$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $(0, 1]$; область определения $g(f(x))$ есть $(1, +\infty)$.

б) Пусть даны функции $f(x) = \arcsin(x)$ и $g(x) = 2x - \frac{1}{2}$.

Области определения исходных функций:

$D(f)$: аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1 включительно, т.е. $D(f) = [-1, 1]$.

$D(g)$: функция является линейной, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(g) = (-\infty, +\infty)$ или $D(g) = \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \arcsin(2x - \frac{1}{2})$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ -1 \le 2x - \frac{1}{2} \le 1 \end{cases} $

Решаем двойное неравенство:
$-1 + \frac{1}{2} \le 2x \le 1 + \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \le 2x \le \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{4}$

Первое условие $x \in \mathbb{R}$ выполняется. Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = 2\arcsin(x) - \frac{1}{2}$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ \arcsin(x) \in \mathbb{R} \end{cases} $

Функция $\arcsin(x)$ определена и принимает действительные значения для всех $x \in [-1, 1]$. Поэтому второе условие ($f(x)$ принадлежит области определения $g$, которая есть $\mathbb{R}$) выполняется для всех $x$ из области определения $f(x)$.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ совпадает с областью определения $f(x)$ и равна $[-1, 1]$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$; область определения $g(f(x))$ есть $[-1, 1]$.

в) Пусть даны функции $f(x) = \log_2(x+3)$ и $g(x) = x^2 - 1$.

Области определения исходных функций:

$D(f)$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x+3 > 0 \implies x > -3$. Таким образом, $D(f) = (-3, +\infty)$.

$D(g)$: функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(g) = \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $f(g(x))$:

Область определения функции $f(g(x)) = \log_2((x^2-1)+3) = \log_2(x^2+2)$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(g) \\ g(x) \in D(f) \end{cases} \implies \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x^2 - 1 > -3 \end{cases} $

Решаем второе неравенство: $x^2 - 1 > -3 \implies x^2 > -2$.

Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит всегда больше -2.

Следовательно, область определения функции $f(g(x))$ есть все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Нахождение области определения $g(f(x))$:

Область определения функции $g(f(x)) = (\log_2(x+3))^2 - 1$ находится из системы:

$ \begin{cases} x \in D(f) \\ f(x) \in D(g) \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ \log_2(x+3) \in \mathbb{R} \end{cases} $

Функция $\log_2(x+3)$ определена и принимает действительные значения для всех $x$ из своей области определения, т.е. для $x > -3$. Таким образом, второе условие не накладывает дополнительных ограничений.

Следовательно, область определения функции $g(f(x))$ совпадает с областью определения $f(x)$ и равна $(-3, +\infty)$.

Ответ: область определения $f(g(x))$ есть $(-\infty, +\infty)$; область определения $g(f(x))$ есть $(-3, +\infty)$.

1.99. Периметр прямоугольника равен 10 см, длина $x$ см, а площадь $S \text{ см}^2$. Найдите зависимость $S$ от $x$ и $x$ от $S$. Как эти зависимости связаны с понятием обратной функции? Найдите области определения прямой и обратной зависимостей.

Найдите зависимость S от x

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая — $y$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи $P = 10$ см, следовательно, $10 = 2(x + y)$, откуда получаем полупериметр $x + y = 5$. Выразим вторую сторону $y$ через $x$: $y = 5 - x$.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x \cdot y$. Подставив выражение для $y$, получим искомую зависимость площади $S$ от длины стороны $x$:

$S(x) = x(5 - x) = 5x - x^2$.

Ответ: $S(x) = 5x - x^2$.

Найдите зависимость x от S

Для нахождения зависимости $x$ от $S$, необходимо решить уравнение $S = 5x - x^2$ относительно переменной $x$. Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + S = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которая имеет вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-5$, $c=S$.

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot S}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Мы получили два возможных выражения для $x$. Эти два решения соответствуют двум смежным сторонам прямоугольника ($x$ и $y$), так как их сумма равна $x_1 + x_2 = \frac{5 + \sqrt{25 - 4S}}{2} + \frac{5 - \sqrt{25 - 4S}}{2} = \frac{10}{2} = 5$, что соответствует условию полупериметра.

Ответ: $x(S) = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Как эти зависимости связаны с понятием обратной функции?

Зависимость $x(S)$ является обратной к зависимости $S(x)$. По определению, функция $y=f(x)$ имеет обратную функцию $x=f^{-1}(y)$ только в том случае, если она взаимно-однозначна (то есть каждому значению $y$ соответствует ровно одно значение $x$).

Функция $S(x) = 5x - x^2$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. На всей своей области определения (которую мы найдем в следующем пункте) эта функция не является взаимно-однозначной. Например, при $x=1$ площадь $S = 5(1)-1^2=4$, и при $x=4$ площадь $S = 5(4)-4^2=4$. Таким образом, одному значению площади $S=4$ см² соответствуют два разных прямоугольника: $1 \times 4$ см и $4 \times 1$ см.

Чтобы зависимость $x(S)$ была функцией в строгом смысле, необходимо ограничить область определения исходной функции $S(x)$ таким интервалом, на котором она монотонна. Вершина параболы $S(x)$ находится в точке $x = -\frac{5}{2(-1)} = 2.5$.

1. Если рассмотреть функцию $S(x)$ на интервале $(0, 2.5]$, где она строго возрастает, то обратная к ней функция будет однозначно определена как $x(S) = \frac{5 - \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

2. Если рассмотреть $S(x)$ на интервале $[2.5, 5)$, где она строго убывает, то обратная функция будет $x(S) = \frac{5 + \sqrt{25 - 4S}}{2}$.

Ответ: Зависимость $x(S)$ является обратной по отношению к $S(x)$. Так как $S(x)$ не является монотонной, то для одного значения $S$ (кроме максимального) существует два значения $x$. Поэтому для получения однозначной обратной функции необходимо ограничить область определения $S(x)$ интервалом ее монотонности.

Найдите области определения прямой и обратной зависимостей

Область определения прямой зависимости $S(x)$ находится из физического смысла задачи. Длины сторон прямоугольника, $x$ и $y=5-x$, должны быть положительными числами:

$x > 0$

$5 - x > 0 \implies x < 5$

Объединяя эти два условия, получаем область определения для $x$: $x \in (0, 5)$.

Область определения обратной зависимости $x(S)$ есть область значений прямой зависимости $S(x)$ на интервале $x \in (0, 5)$. Так как $S(x) = -x^2+5x$ — это парабола с ветвями вниз, ее максимальное значение достигается в вершине при $x = 2.5$:

$S_{max} = S(2.5) = 5(2.5) - (2.5)^2 = 12.5 - 6.25 = 6.25$.

Минимальные значения площади стремятся к нулю, когда $x$ стремится к $0$ или к $5$. Таким образом, площадь $S$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 6.25]$. Это и есть область определения для $S$. Проверим это, исходя из выражения для $x(S)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $25 - 4S \ge 0 \implies 4S \le 25 \implies S \le 6.25$. Поскольку площадь не может быть нулевой или отрицательной, $S > 0$.

Ответ: Область определения прямой зависимости $S(x)$: $D(S) = (0, 5)$. Область определения обратной зависимости $x(S)$: $D(x) = (0, 6.25]$.

1.100. Заданы отображения $f : x \to 2x$ и $g : x \to x - 2$, где $x \in Z$. Какой формулой задаются отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$? Совпадают ли эти композиции отображений?

В задаче даны два отображения, действующие на множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z}$:
1. $f: x \to 2x$, что можно записать в виде функции $f(x) = 2x$.
2. $g: x \to x - 2$, что можно записать в виде функции $g(x) = x - 2$.

Необходимо найти формулы для композиций этих отображений ($f \cdot g$ и $g \cdot f$) и определить, совпадают ли они.

Какой формулой задаются отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$?
Найдем формулу для композиции $f \cdot g$. Знак `·` в данном контексте обозначает операцию композиции функций, то есть $(f \cdot g)(x) = f(g(x))$. Это означает, что мы сначала применяем функцию $g$ к $x$, а затем к полученному результату применяем функцию $f$.
1. Находим значение $g(x)$: $g(x) = x - 2$.
2. Подставляем $g(x)$ в функцию $f$: $f(g(x)) = f(x - 2)$.
3. Применяем правило функции $f$ (умножение на 2) к аргументу $(x-2)$: $f(x - 2) = 2(x - 2) = 2x - 4$.
Таким образом, формула для отображения $f \cdot g$ имеет вид: $(f \cdot g)(x) = 2x - 4$.

Теперь найдем формулу для композиции $g \cdot f$. По определению, $(g \cdot f)(x) = g(f(x))$. Здесь мы сначала применяем функцию $f$, а затем $g$.
1. Находим значение $f(x)$: $f(x) = 2x$.
2. Подставляем $f(x)$ в функцию $g$: $g(f(x)) = g(2x)$.
3. Применяем правило функции $g$ (вычитание 2) к аргументу $(2x)$: $g(2x) = 2x - 2$.
Таким образом, формула для отображения $g \cdot f$ имеет вид: $(g \cdot f)(x) = 2x - 2$.
Ответ: Отображение $f \cdot g$ задается формулой $(f \cdot g)(x) = 2x - 4$. Отображение $g \cdot f$ задается формулой $(g \cdot f)(x) = 2x - 2$.

Совпадают ли эти композиции отображений?
Чтобы определить, совпадают ли композиции, нужно сравнить их формулы:
- Формула для $f \cdot g$: $y = 2x - 4$.
- Формула для $g \cdot f$: $y = 2x - 2$.
Приравняем правые части: $2x - 4 = 2x - 2$.
Вычтем $2x$ из обеих частей равенства: $-4 = -2$.
Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует такого $x$, при котором значения функций были бы равны. Следовательно, отображения $f \cdot g$ и $g \cdot f$ не совпадают.
Ответ: Нет, эти композиции отображений не совпадают, так как $(f \cdot g)(x) \neq (g \cdot f)(x)$ для всех $x \in \mathbb{Z}$.

1.101. Даны функции $f(x) = x + 3$, $g(x) = 2x$ и $\varphi(x) = x^2$, $x \in R$. Верно ли равенство $f(g(\varphi(x))) = f(\varphi(g(x)))$?

Для проверки верности равенства $f(g(\phi(x))) = f(\phi(g(x)))$ при заданных функциях $f(x) = x + 3$, $g(x) = 2x$ и $\phi(x) = x^2$, необходимо вычислить левую и правую части этого равенства и сравнить их.

Вычисление левой части: $f(g(\phi(x)))$
Выполним композицию функций, двигаясь от внутренней к внешней:
1. Сначала подставим $\phi(x) = x^2$ в функцию $g(x)$:
$g(\phi(x)) = g(x^2) = 2(x^2) = 2x^2$.
2. Затем, полученный результат $2x^2$ подставим в функцию $f(x)$:
$f(g(\phi(x))) = f(2x^2) = (2x^2) + 3 = 2x^2 + 3$.
Таким образом, левая часть равенства равна $2x^2 + 3$.

Вычисление правой части: $f(\phi(g(x)))$
Аналогично вычислим правую часть:
1. Сначала подставим $g(x) = 2x$ в функцию $\phi(x)$:
$\phi(g(x)) = \phi(2x) = (2x)^2 = 4x^2$.
2. Полученный результат $4x^2$ подставим в функцию $f(x)$:
$f(\phi(g(x))) = f(4x^2) = (4x^2) + 3 = 4x^2 + 3$.
Таким образом, правая часть равенства равна $4x^2 + 3$.

Сравнение левой и правой частей
Теперь сравним полученные выражения:
Левая часть: $2x^2 + 3$.
Правая часть: $4x^2 + 3$.
Проверим, выполняется ли равенство $2x^2 + 3 = 4x^2 + 3$ для всех $x \in R$.
$2x^2 + 3 = 4x^2 + 3$
$2x^2 = 4x^2$
$2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Как видим, равенство выполняется только в одном случае, когда $x=0$. Поскольку оно не выполняется для всех действительных чисел $x$, исходное утверждение неверно.

Ответ: равенство неверно.

1.102. Выразите объем куба через площадь его поверхности. Как связана эта задача с понятием обратной функции и сложной функции?

Выразите объем куба через площадь его поверхности.

Пусть $a$ – длина ребра куба. Тогда объем куба $V$ и площадь его полной поверхности $S$ выражаются через $a$ следующими формулами:
Объем: $V = a^3$
Площадь поверхности: $S = 6a^2$, так как куб имеет 6 одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.

Для того чтобы выразить объем $V$ через площадь поверхности $S$, необходимо сначала выразить длину ребра $a$ через $S$. Сделаем это из формулы для площади поверхности:
$S = 6a^2$
$a^2 = \frac{S}{6}$
Поскольку длина ребра $a$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в формулу для объема $V$:
$V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$
Данное выражение можно упростить. Возведем в степень числитель и знаменатель:
$V = \frac{(\sqrt{S})^3}{(\sqrt{6})^3} = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$V = \frac{S\sqrt{S} \cdot \sqrt{6}}{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{S\sqrt{6S}}{6 \cdot 6} = \frac{S\sqrt{6S}}{36}$
Ответ: $V = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$, что эквивалентно $V = \frac{S\sqrt{6S}}{36}$.

Как связана эта задача с понятием обратной функции и сложной функции?

Связь с данными понятиями становится ясной, если рассматривать объем и площадь поверхности как функции от длины ребра $a$, где $a>0$.
1. Функция зависимости площади поверхности от длины ребра: $S(a) = 6a^2$.
2. Функция зависимости объема от длины ребра: $V(a) = a^3$.

Связь с понятием обратной функции:
Первый шаг решения задачи — нахождение длины ребра $a$ по известной площади поверхности $S$. Математически это соответствует нахождению функции, обратной к $S(a)$. Функция $a(S) = \sqrt{\frac{S}{6}}$ является обратной к функции $S(a) = 6a^2$ (на области определения $a>0$). Таким образом, для решения задачи мы используем обратную функцию, чтобы "инвертировать" зависимость и выразить аргумент ($a$) через значение функции ($S$).

Связь с понятием сложной функции:
Второй шаг — нахождение объема, используя полученную на первом шаге зависимость $a(S)$. Мы подставляем выражение для $a$ в формулу объема $V(a)$. Эта операция является созданием сложной функции (или композиции функций). Мы вычисляем $V$ от $a(S)$:
$V(S) = V(a(S)) = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3$
Таким образом, искомая зависимость объема от площади поверхности $V(S)$ представляет собой композицию функции объема $V$ и функции $a(S)$, которая, в свою очередь, является обратной к функции площади поверхности $S(a)$. В формальной записи это выглядит как $V(S) = (V \circ S^{-1})(S)$.
Ответ: Чтобы выразить объем через площадь поверхности, мы сначала находим функцию, обратную к функции зависимости площади от ребра куба ($a(S)=S^{-1}(S)$), а затем составляем сложную функцию, подставляя эту обратную функцию в функцию зависимости объема от ребра ($V(S) = V(S^{-1}(S))$).

1.103. Покажите, что прямая $6x + y + 19 = 0$ касается параболы $y = 3x^2 + 6x - 7$. Найдите координаты точки касания.

Чтобы показать, что прямая касается параболы, и найти координаты точки касания, необходимо найти их общие точки. Если прямая и парабола имеют ровно одну общую точку, то прямая является касательной к параболе в этой точке. Для нахождения общих точек решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения параболы.

Система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + y + 19 = 0 \\ y = 3x^2 + 6x - 7 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -6x - 19$.

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$-6x - 19 = 3x^2 + 6x - 7$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 6x + 6x - 7 + 19 = 0$

$3x^2 + 12x + 12 = 0$

Для удобства можно разделить все уравнение на 3:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Количество решений этого уравнения определяет количество точек пересечения прямой и параболы. Найдем дискриминант $D$ уравнения $x^2 + 4x + 4 = 0$, где $a=1$, $b=4$, $c=4$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Так как дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что прямая и парабола имеют только одну общую точку, а значит, прямая касается параболы.

Теперь найдем координаты этой точки касания. Решим уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$. Это уравнение является полным квадратом:

$(x + 2)^2 = 0$

Отсюда находим абсциссу точки касания:

$x = -2$

Для нахождения ординаты $y$ подставим найденное значение $x = -2$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = -6x - 19$:

$y = -6(-2) - 19 = 12 - 19 = -7$

Таким образом, координаты точки касания — $(-2; -7)$.

Ответ: Координаты точки касания $(-2; -7)$.

1.104. Решите уравнение:

1) $(6x - 2)^3 - 6x + 2 = 0;$

2) $(2x - 3)^2 = 2x - 1.$

1) $(6x - 2)^3 - 6x + 2 = 0$

Для решения данного уравнения преобразуем его. Вынесем $-1$ за скобки в последних двух слагаемых:

$(6x - 2)^3 - (6x - 2) = 0$

Это уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $y = 6x - 2$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^3 - y = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$y(y - 1)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 - 1 = 0 \implies y_2 = 1$

$y_3 + 1 = 0 \implies y_3 = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти соответствующие значения $x$.

1. Если $y = 0$, то $6x - 2 = 0$. Решаем это линейное уравнение: $6x = 2$, откуда $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. Если $y = 1$, то $6x - 2 = 1$. Решаем уравнение: $6x = 3$, откуда $x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Если $y = -1$, то $6x - 2 = -1$. Решаем уравнение: $6x = 1$, откуда $x = \frac{1}{6}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{6}, x_2 = \frac{1}{3}, x_3 = \frac{1}{2}$.

2) $(2x - 3)^2 = 2x - 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 2x - 1$

$4x^2 - 12x + 9 = 2x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 12x - 2x + 9 + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 14x + 10 = 0$

Все коэффициенты уравнения четные, поэтому для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$2x^2 - 7x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-7) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2.5$.