Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} u - v = 0, \\ 5u^2 + 2v = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} p + q = -2, \\ p^2 + q^2 = 100. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$u - v = 0,$
$5u^2 + 2v = 3.$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения $u - v = 0$ выразим переменную $u$ через $v$:
$u = v$.

Теперь подставим полученное выражение для $u$ во второе уравнение системы:
$5(v)^2 + 2v = 3$.

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $v$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $av^2+bv+c=0$:
$5v^2 + 2v - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.

Теперь, зная значения $v$, найдем соответствующие значения $u$ из соотношения $u = v$:
Если $v_1 = \frac{3}{5}$, то $u_1 = \frac{3}{5}$.
Если $v_2 = -1$, то $u_2 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{3}{5}, \frac{3}{5})$, $(-1, -1)$.

2) Дана система уравнений:
$p + q = -2,$
$p^2 + q^2 = 100.$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения $p + q = -2$ выразим переменную $q$:
$q = -2 - p$.

Подставим это выражение для $q$ во второе уравнение:
$p^2 + (-2 - p)^2 = 100$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$p^2 + (4 + 4p + p^2) = 100$.

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2p^2 + 4p + 4 - 100 = 0$
$2p^2 + 4p - 96 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:
$p^2 + 2p - 48 = 0$.

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Найдем корни $p_1$ и $p_2$:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Теперь найдем соответствующие значения $q$ из соотношения $q = -2 - p$:
Если $p_1 = 6$, то $q_1 = -2 - 6 = -8$.
Если $p_2 = -8$, то $q_2 = -2 - (-8) = -2 + 8 = 6$.

Система имеет два решения, которые являются перестановкой одних и тех же чисел.

Ответ: $(6, -8)$, $(-8, 6)$.