Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. График какой функции нужно переместить параллельно оси Oy, чтобы получить график следующей функции? (Определите устно.) Постройте оба графика в одной системе координат:

1) $y = x^2 - 2;$

2) $y = x^2 + 3;$

3) $y = x^3 + 1;$

4) $y = \frac{1}{x} + 3;$

5) $y = \frac{1-x}{x};$

6) $y = -2 - \frac{1}{x}.$

1) Чтобы получить график функции $y = x^2 - 2$, нужно график основной функции-параболы $y = x^2$ переместить (сдвинуть) параллельно оси Oy на 2 единицы вниз. На графике синим цветом показана исходная функция $y = x^2$, а красным — результирующая функция $y = x^2 - 2$.

Ответ: График функции $y = x^2$ нужно переместить на 2 единицы вниз.

2) Чтобы получить график функции $y = x^2 + 3$, нужно график основной функции-параболы $y = x^2$ переместить параллельно оси Oy на 3 единицы вверх. На графике синим цветом показана исходная функция $y = x^2$, а красным — результирующая функция $y = x^2 + 3$.

Ответ: График функции $y = x^2$ нужно переместить на 3 единицы вверх.

3) Чтобы получить график функции $y = x^3 + 1$, необходимо график основной кубической параболы $y = x^3$ переместить параллельно оси Oy на 1 единицу вверх. На графике синим цветом показана исходная функция $y = x^3$, а красным — результирующая функция $y = x^3 + 1$.

Ответ: График функции $y = x^3$ нужно переместить на 1 единицу вверх.

4) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{x} + 3$, нужно график основной функции-гиперболы $y = \frac{1}{x}$ переместить параллельно оси Oy на 3 единицы вверх. Горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=3$. На графике синим цветом показана исходная функция $y = \frac{1}{x}$, а красным — результирующая функция $y = \frac{1}{x} + 3$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ нужно переместить на 3 единицы вверх.

5) Сначала преобразуем функцию: $y = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{1}{x} - 1$. Чтобы получить график этой функции, нужно график основной функции-гиперболы $y = \frac{1}{x}$ переместить параллельно оси Oy на 1 единицу вниз. Горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=-1$. На графике синим цветом показана исходная функция $y = \frac{1}{x}$, а красным — результирующая функция $y = \frac{1}{x} - 1$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ нужно переместить на 1 единицу вниз.

6) Преобразуем функцию к виду $y = -\frac{1}{x} - 2$. Чтобы получить график этой функции, нужно график функции $y = -\frac{1}{x}$ (гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях) переместить параллельно оси Oy на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=-2$. На графике синим цветом показана исходная функция $y = -\frac{1}{x}$, а красным — результирующая функция $y = -\frac{1}{x} - 2$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x}$ нужно переместить на 2 единицы вниз.

1.76. Постройте график функции с помощью параллельного переноса:

1) $y = (x - 3)^2 + 1$;

2) $y = x^2 - 4x + 5$;

3) $y = 7 - 6x - x^2$;

4) $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$;

5) $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$;

6) $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$.

1) $y = (x - 3)^2 + 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат) с помощью параллельного переноса. Выражение $(x - 3)$ означает сдвиг графика по оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Слагаемое $+1$ означает сдвиг графика по оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. Таким образом, вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 1)$.

Ответ: График функции $y=(x-3)^2+1$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

2) $y = x^2 - 4x + 5$

Для построения графика преобразуем функцию, выделив полный квадрат: $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$. Теперь видно, что график этой функции можно получить из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса. Выражение $(x - 2)$ означает сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox. Слагаемое $+1$ означает сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x + 5$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

3) $y = 7 - 6x - x^2$

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат: $y = -x^2 - 6x + 7 = -(x^2 + 6x) + 7 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = -((x + 3)^2 - 9) + 7 = -(x + 3)^2 + 9 + 7 = -(x + 3)^2 + 16$. Базовой функцией является $y = -x^2$ (парабола, ветви которой направлены вниз). Выражение $(x + 3)$ означает сдвиг на 3 единицы влево по оси Ox. Слагаемое $+16$ означает сдвиг на 16 единиц вверх по оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 16)$.

Ответ: График функции $y = 7 - 6x - x^2$ — это парабола $y=-x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox и на 16 единиц вверх по оси Oy.

4) $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x - 2 + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}$. Базовой функцией является $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$). Знаменатель $(x - 1)$ означает сдвиг на 1 единицу вправо по оси Ox. Новая вертикальная асимптота: $x=1$. Слагаемое $+2$ означает сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy. Новая горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ — это гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

5) $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$

Выделим целую часть: $y = \frac{3x - 6 - 1}{x - 2} = \frac{3(x - 2) - 1}{x - 2} = 3 - \frac{1}{x - 2}$. Базовой функцией является $y = -\frac{1}{x}$ (гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях, с асимптотами $x=0, y=0$). Знаменатель $(x - 2)$ означает сдвиг на 2 единицы вправо (новая вертикальная асимптота $x=2$). Слагаемое $+3$ означает сдвиг на 3 единицы вверх (новая горизонтальная асимптота $y=3$).

Ответ: График функции $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ — это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

6) $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$

Выделим целую часть: $y = \frac{4x + 8 - 1}{x + 2} = \frac{4(x + 2) - 1}{x + 2} = 4 - \frac{1}{x + 2}$. Базовой функцией является $y = -\frac{1}{x}$. Знаменатель $(x + 2)$ означает сдвиг на 2 единицы влево (новая вертикальная асимптота $x=-2$). Слагаемое $+4$ означает сдвиг на 4 единицы вверх (новая горизонтальная асимптота $y=4$).

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$ — это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.

1.77. График какой функции нужно «сжать» или «растянуть» в направлении, параллельном оси Oy, и во сколько раз нужно «сжать» («растянуть»)? (Определите устно.)

1) $y = \frac{1}{3}x^2$; 2) $y = 3x^2$; 3) $y = \frac{5}{3}x^2$; 4) $y = -\frac{3}{5}x^3$;

Рис. 1.38

Рис. 1.39

5) $y = \frac{2}{x}$; 6) $y = \frac{1}{2x}$; 7) $y = -\frac{3}{x}$; 8) $y = -\frac{1}{3x}$.

Для определения, нужно ли сжимать или растягивать график, мы анализируем преобразование вида $y = k \cdot f(x)$. Если $|k| > 1$, то график базовой функции $f(x)$ растягивается в $|k|$ раз вдоль оси $Oy$. Если $0 < |k| < 1$, то график сжимается в $1/|k|$ раз вдоль оси $Oy$. Если $k < 0$, дополнительно происходит отражение графика относительно оси $Ox$.

1) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{3}x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < \frac{1}{3} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/k = 1 / (1/3) = 3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно сжать в 3 раза.

2) Чтобы получить график функции $y = 3x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = 3$. Поскольку $3 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = 3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно растянуть в 3 раза.

3) Чтобы получить график функции $y = \frac{5}{3}x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = \frac{5}{3}$. Поскольку $\frac{5}{3} > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = \frac{5}{3}$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно растянуть в $\frac{5}{3}$ раза.

4) Чтобы получить график функции $y = -\frac{3}{5}x^3$, нужно взять график базовой функции $y = x^3$. Коэффициент преобразования $k = -\frac{3}{5}$. Рассматриваем его модуль: $|k| = \frac{3}{5}$. Поскольку $0 < \frac{3}{5} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/|k| = 1 / (3/5) = \frac{5}{3}$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=x^3$ нужно сжать в $\frac{5}{3}$ раза.

5) Чтобы получить график функции $y = \frac{2}{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = 2 \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = 2$. Поскольку $2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = 2$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно растянуть в 2 раза.

6) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{2x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/k = 1 / (1/2) = 2$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно сжать в 2 раза.

7) Чтобы получить график функции $y = -\frac{3}{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = -3 \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = -3$. Рассматриваем его модуль: $|k| = 3$. Поскольку $3 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $|k| = 3$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно растянуть в 3 раза.

8) Чтобы получить график функции $y = -\frac{1}{3x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = -\frac{1}{3}$. Рассматриваем его модуль: $|k| = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < \frac{1}{3} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/|k| = 1 / (1/3) = 3$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно сжать в 3 раза.