Страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Постройте графики функций, данных в задаче 1.77, путем сжатия (растяжения).

а) $y = 2 \sin(x)$

Для построения графика функции $y = 2 \sin(x)$ в качестве исходного используется график функции $y_0 = \sin(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow A \cdot f(x)$ при $|A| > 1$ является растяжением графика вдоль оси ординат $Oy$. В данном случае коэффициент $A=2$, поэтому мы выполняем растяжение графика $y = \sin(x)$ в 2 раза вдоль оси $Oy$.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0, 2y_0)$ на графике $y = 2 \sin(x)$. Амплитуда колебаний увеличивается в 2 раза и становится равной 2, а период функции не изменяется и остается равным $2\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \sin(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = 2 \sin(x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = 2 \sin(x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$.

б) $y = \sin(2x)$

Для построения графика функции $y = \sin(2x)$ исходным является график $y_0 = \sin(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $|k| > 1$ является сжатием графика по горизонтали (к оси $Oy$). В данном случае коэффициент $k=2$, поэтому мы выполняем сжатие графика $y = \sin(x)$ в 2 раза по горизонтали.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin(x)$ переходит в точку $(x_0/2, y_0)$ на графике $y = \sin(2x)$. Амплитуда колебаний не изменяется и остается равной 1, а период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi/2 = \pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \sin(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \sin(2x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \sin(2x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия в 2 раза по горизонтали к оси $Oy$.

в) $y = \frac{1}{2} \cos(x)$

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ используем график $y_0 = \cos(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow A \cdot f(x)$ при $0 < |A| < 1$ является сжатием графика вдоль оси ординат $Oy$. В данном случае коэффициент $A=\frac{1}{2}$, поэтому мы выполняем сжатие графика $y = \cos(x)$ в 2 раза вдоль оси $Oy$.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(x)$ переходит в точку $(x_0, y_0/2)$ на графике $y = \frac{1}{2} \cos(x)$. Амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза и становится равной $\frac{1}{2}$, а период функции не изменяется и остается равным $2\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \cos(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2} \cos(x)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси $Oy$.

г) $y = \cos(\frac{x}{2})$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ исходным является график $y_0 = \cos(x)$. Преобразование $f(x) \rightarrow f(kx)$ при $0 < |k| < 1$ является растяжением графика по горизонтали (от оси $Oy$). В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{2}$, поэтому мы выполняем растяжение графика $y = \cos(x)$ в $1/k = 2$ раза по горизонтали.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(x)$ переходит в точку $(2x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(\frac{x}{2})$. Амплитуда колебаний не изменяется и остается равной 1, а период функции увеличивается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi / (1/2) = 4\pi$.

На рисунке ниже график исходной функции $y = \cos(x)$ показан синей пунктирной линией, а график результирующей функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ — красной сплошной линией.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{x}{2})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем растяжения в 2 раза по горизонтали от оси $Oy$.

График какой функции и на какой вектор нужно перенести параллельно, чтобы получить график данной функции (1.79–1.80)? Постройте оба графика в одной системе координат.

1.79.

1) $y = x^2 + 3x + 7;$

2) $y = 2 + 7x - x^2;$

3) $y = x^3 + \frac{3x^2}{2} + \frac{3x}{4} + 1;$

4) $y = x^3 - x^2 + \frac{x}{3} - \frac{37}{27}.

$y = x^3$

$y = \left(x - \frac{1}{3}\right)^3 - \frac{4}{3}$

Рис. 1.40

Для того чтобы определить, график какой функции и на какой вектор нужно перенести, необходимо преобразовать данное уравнение к виду $y = f(x - x_0) + y_0$. В этом случае график функции $y = f(x)$ переносится параллельно на вектор $\vec{a} = (x_0; y_0)$.

1) $y = x^2 + 3x + 7$

Это квадратичная функция. В качестве исходной функции возьмём $y = x^2$. Преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат:

$y = x^2 + 3x + 7 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 7 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{28}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{19}{4}$.

Таким образом, мы получили функцию вида $y = (x - (-\frac{3}{2}))^2 + \frac{19}{4}$. Это означает, что график функции $y = x^2$ был перенесён на вектор с координатами $x_0 = -\frac{3}{2}$ и $y_0 = \frac{19}{4}$.

Ответ: График функции $y = x^2$ нужно перенести параллельно на вектор $\vec{a} = (-\frac{3}{2}; \frac{19}{4})$.

2) $y = 2 + 7x - x^2$

Это квадратичная функция. Перепишем её в стандартном виде: $y = -x^2 + 7x + 2$. В качестве исходной функции возьмём $y = -x^2$. Преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат:

$y = -(x^2 - 7x) + 2 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{7}{2} + (\frac{7}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2) + 2 = -((x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4}) + 2 = -(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{4} + \frac{8}{4} = -(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{57}{4}$.

Мы получили функцию вида $y = -(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{57}{4}$. Это означает, что график функции $y = -x^2$ был перенесён на вектор с координатами $x_0 = \frac{7}{2}$ и $y_0 = \frac{57}{4}$.

Ответ: График функции $y = -x^2$ нужно перенести параллельно на вектор $\vec{a} = (\frac{7}{2}; \frac{57}{4})$.

3) $y = x^3 + \frac{3x^2}{2} + \frac{3x}{4} + 1$

Это кубическая функция. В качестве исходной функции возьмём $y = x^3$. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Попытаемся представить данное уравнение в виде $y=(x+a)^3+b$.

Сравнивая $x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \dots$ с $x^3 + 3ax^2 + \dots$, получаем $3a = \frac{3}{2}$, откуда $a=\frac{1}{2}$.

Проверим остальные члены: $3a^2x = 3(\frac{1}{2})^2x = \frac{3}{4}x$, $a^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:

$y = (x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}) - \frac{1}{8} + 1 = (x + \frac{1}{2})^3 + \frac{7}{8}$.

Мы получили функцию вида $y = (x - (-\frac{1}{2}))^3 + \frac{7}{8}$. Это означает, что график функции $y = x^3$ был перенесён на вектор с координатами $x_0 = -\frac{1}{2}$ и $y_0 = \frac{7}{8}$.

Ответ: График функции $y = x^3$ нужно перенести параллельно на вектор $\vec{a} = (-\frac{1}{2}; \frac{7}{8})$.

4) $y = x^3 - x^2 + \frac{x}{3} - \frac{37}{27}$

Это кубическая функция. Исходная функция — $y = x^3$. Воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Попытаемся представить данное уравнение в виде $y=(x-a)^3+b$.

Сравнивая $x^3 - x^2 + \dots$ с $x^3 - 3ax^2 + \dots$, получаем $3a = 1$, откуда $a=\frac{1}{3}$.

Проверим остальные члены: $3a^2x = 3(\frac{1}{3})^2x = \frac{1}{3}x$, $a^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:

$y = (x^3 - x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{27}) + \frac{1}{27} - \frac{37}{27} = (x - \frac{1}{3})^3 - \frac{36}{27} = (x - \frac{1}{3})^3 - \frac{4}{3}$.

Мы получили функцию вида $y = (x - \frac{1}{3})^3 - \frac{4}{3}$. Это означает, что график функции $y = x^3$ был перенесён на вектор с координатами $x_0 = \frac{1}{3}$ и $y_0 = -\frac{4}{3}$.

Ответ: График функции $y = x^3$ нужно перенести параллельно на вектор $\vec{a} = (\frac{1}{3}; -\frac{4}{3})$.