Страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Путем сжатия (растяжения) и параллельного переноса графика функции $y = x^2$ постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3x + 1;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1;$

3) $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2;$

4) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2.$

1) Для построения графика функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ преобразуем ее уравнение, выделив полный квадрат. Это позволит представить функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.
$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{8}{8} = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$.
График этой функции можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью следующих последовательных преобразований:
1. Растяжение графика $y = x^2$ вдоль оси OY в 2 раза, чтобы получить график $y = 2x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = 2x^2$ на $\frac{3}{4}$ единиц вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = 2(x - \frac{3}{4})^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на $\frac{1}{8}$ единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ получается из графика $y = x^2$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси OY, сдвига на $\frac{3}{4}$ вправо по оси OX и сдвига на $\frac{1}{8}$ вниз по оси OY.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$. Выделим полный квадрат:
$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) - 1 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{3}{2}$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие графика $y = x^2$ вдоль оси OY в 2 раза (с коэффициентом $\frac{1}{2}$), чтобы получить $y = \frac{1}{2}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = \frac{1}{2}x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на $\frac{3}{2}$ единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{3}{2}$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -\frac{3}{2})$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$ получается из графика $y = x^2$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси OY, сдвига на 1 единицу вправо по оси OX и сдвига на $\frac{3}{2}$ единицы вниз по оси OY.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2$. Выделим полный квадрат:
$y = \frac{2}{3}(x^2 + 6x) + 2 = \frac{2}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) + 2 = \frac{2}{3}((x + 3)^2 - 9) + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - \frac{2}{3} \cdot 9 + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 6 + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 4$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие графика $y = x^2$ вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{2}{3}$, чтобы получить $y = \frac{2}{3}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = \frac{2}{3}x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{2}{3}(x + 3)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить $y = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-3; -4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2$ получается из графика $y = x^2$ путем сжатия с коэффициентом $\frac{2}{3}$ вдоль оси OY, сдвига на 3 единицы влево по оси OX и сдвига на 4 единицы вниз по оси OY.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2$. Выделим полный квадрат:
$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 9x) - 2 = -\frac{2}{3}(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^2 - (\frac{9}{2})^2) - 2 = -\frac{2}{3}((x + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}) - 2 = -\frac{2}{3}(x + \frac{9}{2})^2 + \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{4} - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + \frac{27}{2} - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 13.5 - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 11.5$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Отражение графика $y = x^2$ относительно оси OX и его сжатие вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{2}{3}$, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = -\frac{2}{3}x^2$ на 4.5 единицы влево вдоль оси OX, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на 11.5 единиц вверх вдоль оси OY, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 11.5$.
Вершина параболы находится в точке $(-4.5; 11.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2$ получается из графика $y = x^2$ путем отражения относительно оси OX, сжатия с коэффициентом $\frac{2}{3}$ вдоль оси OY, сдвига на 4.5 единицы влево по оси OX и сдвига на 11.5 единиц вверх по оси OY.

1.84. Напишите функцию, график которой проходит через точки $M_1$ и $M_2$ и получается параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$:

1) $M_1(0; -3)$, $M_2(2; -1);$

2) $M_1(0; 1)$, $M_2(-2; 3).$

1) M₁(0; -3), M₂(2; -1)

Искомая функция получается параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$. Следовательно, ее уравнение имеет вид $y = \frac{1}{x-a} + b$, где $a$ и $b$ – неизвестные параметры, определяющие вектор сдвига $(a, b)$.

Поскольку график функции проходит через точки $M_1(0; -3)$ и $M_2(2; -1)$, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Для точки $M_1(0; -3)$: $-3 = \frac{1}{0-a} + b \implies -3 = -\frac{1}{a} + b$.

Для точки $M_2(2; -1)$: $-1 = \frac{1}{2-a} + b$.

Получим систему уравнений:$ \begin{cases} b - \frac{1}{a} = -3 \\ b + \frac{1}{2-a} = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = \frac{1}{a} - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:$(\frac{1}{a} - 3) + \frac{1}{2-a} = -1$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{2-a} = 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $a(2-a)$:$\frac{2-a+a}{a(2-a)} = 2$

$\frac{2}{2a-a^2} = 2$

При условии $2a-a^2 \neq 0$, разделим обе части на 2:$\frac{1}{2a-a^2} = 1$

Это означает, что знаменатель должен быть равен 1:$2a-a^2 = 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$a^2 - 2a + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(a-1)^2 = 0$.

Отсюда находим значение $a$: $a=1$.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a=1$ в выражение для $b$:$b = \frac{1}{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Таким образом, искомая функция имеет вид $y = \frac{1}{x-1} - 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-1} - 2$

2) M₁(0; 1), M₂(-2; 3)

Аналогично первому пункту, ищем функцию в виде $y = \frac{1}{x-a} + b$.

Подставим координаты точек $M_1(0; 1)$ и $M_2(-2; 3)$ в это уравнение.

Для точки $M_1(0; 1)$: $1 = \frac{1}{0-a} + b \implies 1 = -\frac{1}{a} + b$.

Для точки $M_2(-2; 3)$: $3 = \frac{1}{-2-a} + b$.

Получим систему уравнений:$ \begin{cases} b - \frac{1}{a} = 1 \\ b - \frac{1}{a+2} = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 1 + \frac{1}{a}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$(1 + \frac{1}{a}) - \frac{1}{a+2} = 3$

$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} = 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $a(a+2)$:$\frac{a+2-a}{a(a+2)} = 2$

$\frac{2}{a^2+2a} = 2$

При условии $a^2+2a \neq 0$, разделим обе части на 2:$\frac{1}{a^2+2a} = 1$

Следовательно, $a^2+2a = 1$, что приводит к квадратному уравнению: $a^2 + 2a - 1 = 0$.

Решим это уравнение относительно $a$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Мы получили два возможных значения для $a$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $b$.

Случай 1: $a_1 = -1 + \sqrt{2}$.
$b_1 = 1 + \frac{1}{a_1} = 1 + \frac{1}{-1+\sqrt{2}} = 1 + \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = 1 + \sqrt{2}+1 = 2+\sqrt{2}$.
В этом случае функция имеет вид: $y = \frac{1}{x - (-1+\sqrt{2})} + 2+\sqrt{2} = \frac{1}{x+1-\sqrt{2}} + 2+\sqrt{2}$.

Случай 2: $a_2 = -1 - \sqrt{2}$.
$b_2 = 1 + \frac{1}{a_2} = 1 + \frac{1}{-1-\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1 - \frac{1 \cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = 1 - \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = 1 - (\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2}$.
В этом случае функция имеет вид: $y = \frac{1}{x - (-1-\sqrt{2})} + 2-\sqrt{2} = \frac{1}{x+1+\sqrt{2}} + 2-\sqrt{2}$.

Поскольку условию задачи удовлетворяют две функции, приведем обе в ответе.

Ответ: $y = \frac{1}{x+1-\sqrt{2}} + 2+\sqrt{2}$ или $y = \frac{1}{x+1+\sqrt{2}} + 2-\sqrt{2}$

1.85. Арка моста является дугой параболы (рис. 1.42), здесь $OA = 8$ м, $BC = 2$ м. Взяв прямоугольную систему координат, как показано на рис. 1.42, определите, во сколько раз был «сжат» график функции $y = x^2$ и на величину какого вектора был перемещен этот график.

Рис. 1.42

Для решения задачи сначала найдем уравнение параболы, описывающей арку моста.

Введем систему координат, как показано на рисунке. Основание арки, отрезок $OA$, лежит на оси $Ox$. Точка $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. По условию, длина основания $OA = 8$ м, следовательно, точка $A$ имеет координаты $(8, 0)$.

Вершина параболы $B$ находится над серединой основания $OA$. Абсцисса вершины $x_B$ равна $x_B = \frac{0 + 8}{2} = 4$. Высота арки $BC = 2$ м, что является ординатой вершины, то есть $y_B = 2$. Таким образом, координаты вершины параболы — $B(4, 2)$.

Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$. Подставив координаты вершины $B(4, 2)$, получаем:$y = a(x - 4)^2 + 2$

Чтобы найти коэффициент $a$, используем тот факт, что парабола проходит через начало координат $O(0, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение:
$0 = a(0 - 4)^2 + 2$
$0 = a \cdot 16 + 2$
$16a = -2$
$a = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

Итак, уравнение арки моста: $y = -\frac{1}{8}(x - 4)^2 + 2$.

Это уравнение получено из графика функции $y = x^2$ путем его отражения, сжатия и параллельного переноса.

во сколько раз был «сжат» график функции $y = x^2$

Преобразование $y = x^2 \rightarrow y = ax^2$ является вертикальным сжатием или растяжением, а также отражением. В нашем случае коэффициент $a = -\frac{1}{8}$. Знак «минус» означает, что график был отражен относительно оси $Ox$. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{8}$ показывает, что произошло сжатие графика к оси $Ox$ (вертикальное сжатие). Чтобы определить, во сколько раз произошло сжатие, нужно найти величину, обратную модулю коэффициента: $\frac{1}{|a|} = \frac{1}{1/8} = 8$.
Ответ: График был сжат в 8 раз.

на величину какого вектора был перемещен этот график

Параллельный перенос описывается параметрами $h$ и $k$ в уравнении $y = a(x - h)^2 + k$. Он перемещает вершину параболы из точки $(0, 0)$ в точку $(h, k)$. В нашем уравнении $y = -\frac{1}{8}(x - 4)^2 + 2$ имеем $h=4$ и $k=2$. Это означает, что график функции $y = -\frac{1}{8}x^2$ был сдвинут на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Такой перенос соответствует вектору с координатами $(4; 2)$.
Ответ: График был перемещен на вектор $\vec{p}(4; 2)$.

1.86. Решите уравнения:

1) $ \frac{3}{x-2} = \frac{2}{x-3} $;

2) $ \frac{y^2}{y-3} = \frac{y+6}{y-3} + 1 $.

1) Решим уравнение $ \frac{3}{x-2} = \frac{2}{x-3} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $

Данное уравнение является пропорцией. Мы можем использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$ 3 \cdot (x-3) = 2 \cdot (x-2) $

Раскроем скобки:

$ 3x - 9 = 2x - 4 $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$ 3x - 2x = 9 - 4 $

Выполним вычисления:

$ x = 5 $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 5 \neq 2 $ и $ 5 \neq 3 $, то корень $x=5$ является решением уравнения.

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $ \frac{y^2}{y-3} = \frac{y+6}{y-3} + 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \frac{y^2}{y-3} - \frac{y+6}{y-3} - 1 = 0 $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $y-3$:

$ \frac{y^2}{y-3} - \frac{y+6}{y-3} - \frac{y-3}{y-3} = 0 $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{y^2 - (y+6) - (y-3)}{y-3} = 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{y^2 - y - 6 - y + 3}{y-3} = 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{y^2 - 2y - 3}{y-3} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $ y-3 \neq 0 $ мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$ y^2 - 2y - 3 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $

Найдем корни уравнения:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($y \neq 3$).

Корень $ y_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $ y_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-1$.