Номер 1.86, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.86. Решите уравнения:

1) $ \frac{3}{x-2} = \frac{2}{x-3} $;

2) $ \frac{y^2}{y-3} = \frac{y+6}{y-3} + 1 $.

1) Решим уравнение $ \frac{3}{x-2} = \frac{2}{x-3} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $

Данное уравнение является пропорцией. Мы можем использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$ 3 \cdot (x-3) = 2 \cdot (x-2) $

Раскроем скобки:

$ 3x - 9 = 2x - 4 $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$ 3x - 2x = 9 - 4 $

Выполним вычисления:

$ x = 5 $

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 5 \neq 2 $ и $ 5 \neq 3 $, то корень $x=5$ является решением уравнения.

Ответ: $5$.

2) Решим уравнение $ \frac{y^2}{y-3} = \frac{y+6}{y-3} + 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \frac{y^2}{y-3} - \frac{y+6}{y-3} - 1 = 0 $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $y-3$:

$ \frac{y^2}{y-3} - \frac{y+6}{y-3} - \frac{y-3}{y-3} = 0 $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{y^2 - (y+6) - (y-3)}{y-3} = 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{y^2 - y - 6 - y + 3}{y-3} = 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{y^2 - 2y - 3}{y-3} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $ y-3 \neq 0 $ мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$ y^2 - 2y - 3 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $

Найдем корни уравнения:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($y \neq 3$).

Корень $ y_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $ y_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-1$.