Номер 1.85, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Арка моста является дугой параболы (рис. 1.42), здесь $OA = 8$ м, $BC = 2$ м. Взяв прямоугольную систему координат, как показано на рис. 1.42, определите, во сколько раз был «сжат» график функции $y = x^2$ и на величину какого вектора был перемещен этот график.

Рис. 1.42

Для решения задачи сначала найдем уравнение параболы, описывающей арку моста.

Введем систему координат, как показано на рисунке. Основание арки, отрезок $OA$, лежит на оси $Ox$. Точка $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. По условию, длина основания $OA = 8$ м, следовательно, точка $A$ имеет координаты $(8, 0)$.

Вершина параболы $B$ находится над серединой основания $OA$. Абсцисса вершины $x_B$ равна $x_B = \frac{0 + 8}{2} = 4$. Высота арки $BC = 2$ м, что является ординатой вершины, то есть $y_B = 2$. Таким образом, координаты вершины параболы — $B(4, 2)$.

Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$. Подставив координаты вершины $B(4, 2)$, получаем:$y = a(x - 4)^2 + 2$

Чтобы найти коэффициент $a$, используем тот факт, что парабола проходит через начало координат $O(0, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение:
$0 = a(0 - 4)^2 + 2$
$0 = a \cdot 16 + 2$
$16a = -2$
$a = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

Итак, уравнение арки моста: $y = -\frac{1}{8}(x - 4)^2 + 2$.

Это уравнение получено из графика функции $y = x^2$ путем его отражения, сжатия и параллельного переноса.

во сколько раз был «сжат» график функции $y = x^2$

Преобразование $y = x^2 \rightarrow y = ax^2$ является вертикальным сжатием или растяжением, а также отражением. В нашем случае коэффициент $a = -\frac{1}{8}$. Знак «минус» означает, что график был отражен относительно оси $Ox$. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{8}$ показывает, что произошло сжатие графика к оси $Ox$ (вертикальное сжатие). Чтобы определить, во сколько раз произошло сжатие, нужно найти величину, обратную модулю коэффициента: $\frac{1}{|a|} = \frac{1}{1/8} = 8$.
Ответ: График был сжат в 8 раз.

на величину какого вектора был перемещен этот график

Параллельный перенос описывается параметрами $h$ и $k$ в уравнении $y = a(x - h)^2 + k$. Он перемещает вершину параболы из точки $(0, 0)$ в точку $(h, k)$. В нашем уравнении $y = -\frac{1}{8}(x - 4)^2 + 2$ имеем $h=4$ и $k=2$. Это означает, что график функции $y = -\frac{1}{8}x^2$ был сдвинут на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Такой перенос соответствует вектору с координатами $(4; 2)$.
Ответ: График был перемещен на вектор $\vec{p}(4; 2)$.