Номер 1.84, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Напишите функцию, график которой проходит через точки $M_1$ и $M_2$ и получается параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$:

1) $M_1(0; -3)$, $M_2(2; -1);$

2) $M_1(0; 1)$, $M_2(-2; 3).$

1) M₁(0; -3), M₂(2; -1)

Искомая функция получается параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$. Следовательно, ее уравнение имеет вид $y = \frac{1}{x-a} + b$, где $a$ и $b$ – неизвестные параметры, определяющие вектор сдвига $(a, b)$.

Поскольку график функции проходит через точки $M_1(0; -3)$ и $M_2(2; -1)$, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек в уравнение, чтобы получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Для точки $M_1(0; -3)$: $-3 = \frac{1}{0-a} + b \implies -3 = -\frac{1}{a} + b$.

Для точки $M_2(2; -1)$: $-1 = \frac{1}{2-a} + b$.

Получим систему уравнений:$ \begin{cases} b - \frac{1}{a} = -3 \\ b + \frac{1}{2-a} = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = \frac{1}{a} - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:$(\frac{1}{a} - 3) + \frac{1}{2-a} = -1$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{2-a} = 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $a(2-a)$:$\frac{2-a+a}{a(2-a)} = 2$

$\frac{2}{2a-a^2} = 2$

При условии $2a-a^2 \neq 0$, разделим обе части на 2:$\frac{1}{2a-a^2} = 1$

Это означает, что знаменатель должен быть равен 1:$2a-a^2 = 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$a^2 - 2a + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(a-1)^2 = 0$.

Отсюда находим значение $a$: $a=1$.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a=1$ в выражение для $b$:$b = \frac{1}{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Таким образом, искомая функция имеет вид $y = \frac{1}{x-1} - 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-1} - 2$

2) M₁(0; 1), M₂(-2; 3)

Аналогично первому пункту, ищем функцию в виде $y = \frac{1}{x-a} + b$.

Подставим координаты точек $M_1(0; 1)$ и $M_2(-2; 3)$ в это уравнение.

Для точки $M_1(0; 1)$: $1 = \frac{1}{0-a} + b \implies 1 = -\frac{1}{a} + b$.

Для точки $M_2(-2; 3)$: $3 = \frac{1}{-2-a} + b$.

Получим систему уравнений:$ \begin{cases} b - \frac{1}{a} = 1 \\ b - \frac{1}{a+2} = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 1 + \frac{1}{a}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$(1 + \frac{1}{a}) - \frac{1}{a+2} = 3$

$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} = 2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $a(a+2)$:$\frac{a+2-a}{a(a+2)} = 2$

$\frac{2}{a^2+2a} = 2$

При условии $a^2+2a \neq 0$, разделим обе части на 2:$\frac{1}{a^2+2a} = 1$

Следовательно, $a^2+2a = 1$, что приводит к квадратному уравнению: $a^2 + 2a - 1 = 0$.

Решим это уравнение относительно $a$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Мы получили два возможных значения для $a$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $b$.

Случай 1: $a_1 = -1 + \sqrt{2}$.
$b_1 = 1 + \frac{1}{a_1} = 1 + \frac{1}{-1+\sqrt{2}} = 1 + \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = 1 + \sqrt{2}+1 = 2+\sqrt{2}$.
В этом случае функция имеет вид: $y = \frac{1}{x - (-1+\sqrt{2})} + 2+\sqrt{2} = \frac{1}{x+1-\sqrt{2}} + 2+\sqrt{2}$.

Случай 2: $a_2 = -1 - \sqrt{2}$.
$b_2 = 1 + \frac{1}{a_2} = 1 + \frac{1}{-1-\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1 - \frac{1 \cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = 1 - \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = 1 - (\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2}$.
В этом случае функция имеет вид: $y = \frac{1}{x - (-1-\sqrt{2})} + 2-\sqrt{2} = \frac{1}{x+1+\sqrt{2}} + 2-\sqrt{2}$.

Поскольку условию задачи удовлетворяют две функции, приведем обе в ответе.

Ответ: $y = \frac{1}{x+1-\sqrt{2}} + 2+\sqrt{2}$ или $y = \frac{1}{x+1+\sqrt{2}} + 2-\sqrt{2}$