Номер 1.82, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Проходит ли график через точку $M_0$, полученный параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на вектор $\vec{a} = (-2; 3)$:

1) $M_0(-1; 4);$

2) $M_0(-1; 3);$

3) $M_0\left(-\frac{1}{2}; \frac{10}{3}\right);$

4) $M_0\left(-2\frac{1}{3}; 0\right)?$

Для решения задачи сначала найдем уравнение функции, график которой получен параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на вектор $\vec{a} = (-2; 3)$.

Общая формула для параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ на вектор с координатами $(m; n)$ имеет вид $y' = f(x-m) + n$. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$, $m = -2$ и $n = 3$.

Подставив эти значения, получаем уравнение нового графика:

$y = \frac{1}{x - (-2)} + 3$

$y = \frac{1}{x+2} + 3$

Теперь, чтобы проверить, проходит ли этот график через заданную точку $M_0(x_0; y_0)$, нужно подставить ее координаты в полученное уравнение. Если равенство будет верным, точка принадлежит графику.

1) $M_0(-1; 4)$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -1$ и $y_0 = 4$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$4 = \frac{1}{-1+2} + 3$
$4 = \frac{1}{1} + 3$
$4 = 1 + 3$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, график проходит через эту точку.
Ответ: да, проходит.

2) $M_0(-1; 3)$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -1$ и $y_0 = 3$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$3 = \frac{1}{-1+2} + 3$
$3 = \frac{1}{1} + 3$
$3 = 1 + 3$
$3 = 4$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

3) $M_0(-\frac{1}{2}; \frac{10}{3})$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -\frac{1}{2}$ и $y_0 = \frac{10}{3}$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$\frac{10}{3} = \frac{1}{-\frac{1}{2} + 2} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{1}{\frac{3}{2}} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{2}{3} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{2}{3} + \frac{9}{3}$
$\frac{10}{3} = \frac{11}{3}$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

4) $M_0(-2\frac{1}{3}; 0)$?
Подставляем координаты точки $x_0 = -2\frac{1}{3}$ и $y_0 = 0$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
$0 = \frac{1}{-\frac{7}{3} + 2} + 3$
$0 = \frac{1}{-\frac{7}{3} + \frac{6}{3}} + 3$
$0 = \frac{1}{-\frac{1}{3}} + 3$
$0 = -3 + 3$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, график проходит через эту точку.
Ответ: да, проходит.