Номер 1.77, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. График какой функции нужно «сжать» или «растянуть» в направлении, параллельном оси Oy, и во сколько раз нужно «сжать» («растянуть»)? (Определите устно.)

1) $y = \frac{1}{3}x^2$; 2) $y = 3x^2$; 3) $y = \frac{5}{3}x^2$; 4) $y = -\frac{3}{5}x^3$;

Рис. 1.38

Рис. 1.39

5) $y = \frac{2}{x}$; 6) $y = \frac{1}{2x}$; 7) $y = -\frac{3}{x}$; 8) $y = -\frac{1}{3x}$.

Для определения, нужно ли сжимать или растягивать график, мы анализируем преобразование вида $y = k \cdot f(x)$. Если $|k| > 1$, то график базовой функции $f(x)$ растягивается в $|k|$ раз вдоль оси $Oy$. Если $0 < |k| < 1$, то график сжимается в $1/|k|$ раз вдоль оси $Oy$. Если $k < 0$, дополнительно происходит отражение графика относительно оси $Ox$.

1) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{3}x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < \frac{1}{3} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/k = 1 / (1/3) = 3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно сжать в 3 раза.

2) Чтобы получить график функции $y = 3x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = 3$. Поскольку $3 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = 3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно растянуть в 3 раза.

3) Чтобы получить график функции $y = \frac{5}{3}x^2$, нужно взять график базовой функции $y = x^2$. Коэффициент преобразования $k = \frac{5}{3}$. Поскольку $\frac{5}{3} > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = \frac{5}{3}$.
Ответ: График функции $y=x^2$ нужно растянуть в $\frac{5}{3}$ раза.

4) Чтобы получить график функции $y = -\frac{3}{5}x^3$, нужно взять график базовой функции $y = x^3$. Коэффициент преобразования $k = -\frac{3}{5}$. Рассматриваем его модуль: $|k| = \frac{3}{5}$. Поскольку $0 < \frac{3}{5} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/|k| = 1 / (3/5) = \frac{5}{3}$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=x^3$ нужно сжать в $\frac{5}{3}$ раза.

5) Чтобы получить график функции $y = \frac{2}{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = 2 \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = 2$. Поскольку $2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $k = 2$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно растянуть в 2 раза.

6) Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{2x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/k = 1 / (1/2) = 2$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно сжать в 2 раза.

7) Чтобы получить график функции $y = -\frac{3}{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = -3 \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = -3$. Рассматриваем его модуль: $|k| = 3$. Поскольку $3 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент растяжения равен $|k| = 3$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно растянуть в 3 раза.

8) Чтобы получить график функции $y = -\frac{1}{3x}$, нужно взять график базовой функции $y = \frac{1}{x}$ и представить заданную функцию как $y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$. Коэффициент преобразования $k = -\frac{1}{3}$. Рассматриваем его модуль: $|k| = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < \frac{1}{3} < 1$, происходит сжатие графика вдоль оси $Oy$. Коэффициент сжатия равен $1/|k| = 1 / (1/3) = 3$. Знак «минус» также означает отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y=\frac{1}{x}$ нужно сжать в 3 раза.