Номер 1.83, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Путем сжатия (растяжения) и параллельного переноса графика функции $y = x^2$ постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3x + 1;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1;$

3) $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2;$

4) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2.$

1) Для построения графика функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ преобразуем ее уравнение, выделив полный квадрат. Это позволит представить функцию в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины параболы.
$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{8}{8} = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$.
График этой функции можно получить из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью следующих последовательных преобразований:
1. Растяжение графика $y = x^2$ вдоль оси OY в 2 раза, чтобы получить график $y = 2x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = 2x^2$ на $\frac{3}{4}$ единиц вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = 2(x - \frac{3}{4})^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на $\frac{1}{8}$ единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить итоговый график $y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ получается из графика $y = x^2$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси OY, сдвига на $\frac{3}{4}$ вправо по оси OX и сдвига на $\frac{1}{8}$ вниз по оси OY.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$. Выделим полный квадрат:
$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) - 1 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{3}{2}$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие графика $y = x^2$ вдоль оси OY в 2 раза (с коэффициентом $\frac{1}{2}$), чтобы получить $y = \frac{1}{2}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = \frac{1}{2}x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на $\frac{3}{2}$ единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{3}{2}$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -\frac{3}{2})$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$ получается из графика $y = x^2$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси OY, сдвига на 1 единицу вправо по оси OX и сдвига на $\frac{3}{2}$ единицы вниз по оси OY.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2$. Выделим полный квадрат:
$y = \frac{2}{3}(x^2 + 6x) + 2 = \frac{2}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) + 2 = \frac{2}{3}((x + 3)^2 - 9) + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - \frac{2}{3} \cdot 9 + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 6 + 2 = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 4$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие графика $y = x^2$ вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{2}{3}$, чтобы получить $y = \frac{2}{3}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = \frac{2}{3}x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{2}{3}(x + 3)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси OY, чтобы получить $y = \frac{2}{3}(x + 3)^2 - 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-3; -4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 4x + 2$ получается из графика $y = x^2$ путем сжатия с коэффициентом $\frac{2}{3}$ вдоль оси OY, сдвига на 3 единицы влево по оси OX и сдвига на 4 единицы вниз по оси OY.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2$. Выделим полный квадрат:
$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 9x) - 2 = -\frac{2}{3}(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^2 - (\frac{9}{2})^2) - 2 = -\frac{2}{3}((x + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}) - 2 = -\frac{2}{3}(x + \frac{9}{2})^2 + \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{4} - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + \frac{27}{2} - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 13.5 - 2 = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 11.5$.
График этой функции получается из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Отражение графика $y = x^2$ относительно оси OX и его сжатие вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{2}{3}$, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}x^2$.
2. Параллельный перенос графика $y = -\frac{2}{3}x^2$ на 4.5 единицы влево вдоль оси OX, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2$.
3. Параллельный перенос полученного графика на 11.5 единиц вверх вдоль оси OY, чтобы получить $y = -\frac{2}{3}(x + 4.5)^2 + 11.5$.
Вершина параболы находится в точке $(-4.5; 11.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{2}{3}x^2 - 6x - 2$ получается из графика $y = x^2$ путем отражения относительно оси OX, сжатия с коэффициентом $\frac{2}{3}$ вдоль оси OY, сдвига на 4.5 единицы влево по оси OX и сдвига на 11.5 единиц вверх по оси OY.