Вопросы, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Заданы функции: $y = f(u), u \in D(f)$ и $u = \varphi(x), x \in D(\varphi)$.

a) При каких условиях определена сложная функция $f(\varphi)$?

б) Следует ли из существования сложной функции $f(\varphi)$ существование сложной функции $\varphi(f)$? Приведите пример.

2. Изобразите схему определения сложной функции.

3. Как определяется обратная функция? Какое соответствие называется взаимно однозначным?

а) Сложная функция $y = f(\phi(x))$, также обозначаемая как $y = (f \circ \phi)(x)$, определена при выполнении следующего условия: множество значений "внутренней" функции $u = \phi(x)$ должно иметь непустое пересечение с областью определения "внешней" функции $y = f(u)$.
Формально, область определения $D(f \circ \phi)$ сложной функции состоит из всех таких $x$ из области определения $D(\phi)$ функции $\phi$, для которых значение $\phi(x)$ принадлежит области определения $D(f)$ функции $f$.Математически это условие можно записать так:
$D(f \circ \phi) = \{x \in D(\phi) \mid \phi(x) \in D(f)\}$
Следовательно, для существования сложной функции необходимо и достаточно, чтобы пересечение множества значений функции $\phi$, которое обозначается как $E(\phi)$, и области определения функции $f$, $D(f)$, было непустым: $E(\phi) \cap D(f) \neq \emptyset$.
Ответ: Сложная функция $f(\phi)$ определена для тех $x$ из области определения функции $\phi$, для которых значения $\phi(x)$ входят в область определения функции $f$. Необходимым условием является $E(\phi) \cap D(f) \neq \emptyset$.

б) Нет, из существования сложной функции $f(\phi)$ не следует существование сложной функции $\phi(f)$. Существование композиции $f(\phi)$ зависит от условия $E(\phi) \cap D(f) \neq \emptyset$, в то время как существование $\phi(f)$ зависит от условия $E(f) \cap D(\phi) \neq \emptyset$. Эти условия не эквивалентны, и выполнение одного не гарантирует выполнение другого.

Пример:
Пусть даны две функции с ограниченными областями определения:
1. Функция $u = \phi(x) = x+2$ с областью определения $D(\phi) = [1, 2]$. Тогда её множество значений $E(\phi) = [1+2, 2+2] = [3, 4]$.
2. Функция $y = f(u) = u+10$ с областью определения $D(f) = [3, 4]$. Тогда её множество значений $E(f) = [3+10, 4+10] = [13, 14]$.

Проверим существование сложной функции $y = f(\phi(x))$:
Для этого нужно проверить пересечение множества значений $\phi$, $E(\phi)$, и области определения $f$, $D(f)$.
$E(\phi) \cap D(f) = [3, 4] \cap [3, 4] = [3, 4]$.
Поскольку пересечение непусто, сложная функция $f(\phi(x))$ существует. Она определена для всех $x \in [1, 2]$.

Теперь проверим существование сложной функции $z = \phi(f(u))$:
Для этого нужно проверить пересечение множества значений $f$, $E(f)$, и области определения $\phi$, $D(\phi)$.
$E(f) \cap D(\phi) = [13, 14] \cap [1, 2] = \emptyset$.
Поскольку пересечение пусто, сложная функция $\phi(f(u))$ не существует (не определена ни для одного значения $u$).
Этот пример показывает, что существование $f(\phi)$ не влечет за собой существование $\phi(f)$.
Ответ: Нет, не следует. Пример приведен выше.

2. Схема определения сложной функции иллюстрирует последовательное применение двух функций. Аргумент $x$ из множества $X$ (область определения $D(\phi)$) отображается функцией $\phi$ в промежуточное значение $u = \phi(x)$ в множестве $U$. Затем это значение $u$, если оно принадлежит области определения $D(f)$, отображается функцией $f$ в конечное значение $y = f(u)$ в множестве $Y$. Композиция функций $f \circ \phi$ представляет собой прямое отображение из $X$ в $Y$.


Ответ: Схема, иллюстрирующая определение сложной функции, представлена на рисунке выше.

3.Определение обратной функции:
Пусть задана функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f) = X$ и множеством значений $E(f) = Y$. Если для каждого значения $y$ из множества $Y$ существует единственное значение $x$ из множества $X$ такое, что $y = f(x)$, то это соответствие определяет новую функцию. Эта функция, которая каждому $y \in Y$ ставит в соответствие единственный $x \in X$, называется обратной к функции $f$ и обозначается как $x = f^{-1}(y)$.
Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она устанавливает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения и множеством значений. Достаточным условием существования обратной функции является ее строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание).
Основные свойства обратной функции:
• Область определения обратной функции является множеством значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Множество значений обратной функции является областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Последовательное применение исходной и обратной функций возвращает исходный аргумент: $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$, и $f(f^{-1}(y)) = y$ для всех $y \in E(f)$.

Взаимно однозначное соответствие:
Соответствие между двумя множествами $X$ и $Y$ называется взаимно однозначным (или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. Инъективность: разным элементам множества $X$ соответствуют разные элементы множества $Y$. То есть, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.
2. Сюръективность: для любого элемента $y$ из множества $Y$ найдется такой элемент $x$ из множества $X$, что $y$ является его образом, то есть $y = f(x)$.
Проще говоря, при взаимно однозначном соответствии каждый элемент одного множества сопоставляется с ровно одним элементом другого множества, и наоборот, каждый элемент второго множества сопоставляется с ровно одним элементом первого.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}$ к функции $f$ существует, если $f$ взаимно однозначна, и ставит в соответствие каждому элементу $y$ из множества значений $f$ единственный элемент $x$ из ее области определения. Взаимно однозначное соответствие (биекция) — это соответствие, при котором каждый элемент одного множества связан с ровно одним элементом другого, и наоборот.