Номер 1.81, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.81. Во сколько раз нужно «растянуть» («сжать») график функции $y = x^2$, чтобы полученный график проходил через точку $M_0(x_0; y_0)$? Постройте этот график.

1) $M_0(2; 2);$

2) $M_0(1; 2);$

3) $M_0(2; 5);$

4) $M_0(-3; 6).$

Преобразование «растяжение» или «сжатие» графика функции $y = x^2$ вдоль оси ординат (оси $Oy$) приводит к функции вида $y = ax^2$. Коэффициент $a$ определяет степень растяжения или сжатия.

Если $|a| > 1$, график растягивается от оси $Ox$ в $|a|$ раз.

Если $0 < |a| < 1$, график сжимается к оси $Ox$ в $1/|a|$ раз.

Чтобы найти коэффициент $a$, нужно использовать тот факт, что итоговый график должен проходить через заданную точку $M_0(x_0; y_0)$. Это означает, что координаты точки должны удовлетворять уравнению функции $y = ax^2$. Подставив $x = x_0$ и $y = y_0$, получаем: $y_0 = a \cdot (x_0)^2$

Отсюда можно выразить коэффициент $a$: $a = \frac{y_0}{x_0^2}$ (при условии, что $x_0 \neq 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) M₀(2; 2)

Подставим координаты точки $M_0(2; 2)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{1}{2}x^2$. Поскольку $a = 1/2$, что меньше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно сжать вдоль оси $Oy$ в $1/a = 1/(1/2) = 2$ раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{1}{2}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(2; 2)$.

Ответ: График нужно сжать вдоль оси Oy в 2 раза. Уравнение функции: $y = \frac{1}{2}x^2$.

2) M₀(1; 2)

Подставим координаты точки $M_0(1; 2)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{2}{1^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = 2x^2$. Поскольку $a = 2$, что больше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно растянуть вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=2x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(1; 2)$.

Ответ: График нужно растянуть вдоль оси Oy в 2 раза. Уравнение функции: $y = 2x^2$.

3) M₀(2; 5)

Подставим координаты точки $M_0(2; 5)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{5}{4}x^2$. Поскольку $a = 1.25$, что больше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно растянуть вдоль оси $Oy$ в 1.25 раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{5}{4}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(2; 5)$.

Ответ: График нужно растянуть вдоль оси Oy в 1.25 раза (или в 5/4 раза). Уравнение функции: $y = \frac{5}{4}x^2$.

4) M₀(-3; 6)

Подставим координаты точки $M_0(-3; 6)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{6}{(-3)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{2}{3}x^2$. Поскольку $a = 2/3$, что меньше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно сжать вдоль оси $Oy$ в $1/a = 1/(2/3) = 3/2 = 1.5$ раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{2}{3}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(-3; 6)$.

Ответ: График нужно сжать вдоль оси Oy в 1.5 раза (или в 3/2 раза). Уравнение функции: $y = \frac{2}{3}x^2$.