Страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80. 1) $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{x - 0{,}5};$

2) $y = \frac{2}{2x - 1} - 1;$

3) $y = \frac{6x - 5}{2x - 1};$

4) $y = \frac{1 - 3x}{3x + 2}.$

$y = \frac{1}{x}$

$y = \frac{1}{x - 0{,}5} - 1$

Рис. 1.41

1) Чтобы привести функцию $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{x - 0,5}$ к стандартному виду $y = \frac{k}{x - a} + b$, достаточно поменять местами слагаемые:

$y = -\frac{1}{x - 0,5} + \frac{3}{2}$

Это функция вида $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $k = -1$, $a = 0,5$, $b = 1,5$. График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом на $0,5$ единицы вправо по оси $Ox$ и на $1,5$ единицы вверх по оси $Oy$.

Ответ: $y = \frac{-1}{x - 0,5} + 1,5$.

2) Преобразуем функцию $y = \frac{2}{2x - 1} - 1$ к виду $y = \frac{k}{x - a} + b$. Для этого в знаменателе дроби вынесем за скобки коэффициент при $x$:

$y = \frac{2}{2(x - \frac{1}{2})} - 1$

Сократим дробь на 2:

$y = \frac{1}{x - \frac{1}{2}} - 1$

Или в десятичном виде:

$y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$

Это функция вида $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $k = 1$, $a = 0,5$, $b = -1$. График этой функции изображен на рисунке к заданию. Он получен из графика функции $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на $0,5$ единицы вправо по оси $Ox$ и на $1$ единицу вниз по оси $Oy$.

Ответ: $y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$.

3) Для приведения дроби $y = \frac{6x - 5}{2x - 1}$ к стандартному виду выделим целую часть. Для этого представим числитель через знаменатель:

$6x - 5 = 3(2x - 1) - 2$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{3(2x - 1) - 2}{2x - 1} = \frac{3(2x - 1)}{2x - 1} - \frac{2}{2x - 1} = 3 - \frac{2}{2x - 1}$

Теперь преобразуем дробную часть, вынеся 2 за скобки в знаменателе:

$y = 3 - \frac{2}{2(x - 0,5)} = 3 - \frac{1}{x - 0,5}$

Запишем в стандартном виде:

$y = \frac{-1}{x - 0,5} + 3$

Ответ: $y = \frac{-1}{x - 0,5} + 3$.

4) Преобразуем функцию $y = \frac{1 - 3x}{3x + 2}$. Сначала для удобства поменяем порядок слагаемых в числителе: $y = \frac{-3x + 1}{3x + 2}$.

Выделим целую часть, представив числитель через знаменатель:

$-3x + 1 = -(3x + 2) + 2 + 1 = -(3x + 2) + 3$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{-(3x + 2) + 3}{3x + 2} = \frac{-(3x + 2)}{3x + 2} + \frac{3}{3x + 2} = -1 + \frac{3}{3x + 2}$

Вынесем коэффициент 3 в знаменателе дроби:

$y = -1 + \frac{3}{3(x + \frac{2}{3})} = -1 + \frac{1}{x + \frac{2}{3}}$

Запишем в стандартном виде:

$y = \frac{1}{x + \frac{2}{3}} - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{x + \frac{2}{3}} - 1$.

На Рис. 1.41, приложенном к заданию, показаны графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{x - 0,5} - 1$ (решение пункта 2). Ниже представлена векторная копия этого изображения.

1.81. Во сколько раз нужно «растянуть» («сжать») график функции $y = x^2$, чтобы полученный график проходил через точку $M_0(x_0; y_0)$? Постройте этот график.

1) $M_0(2; 2);$

2) $M_0(1; 2);$

3) $M_0(2; 5);$

4) $M_0(-3; 6).$

Преобразование «растяжение» или «сжатие» графика функции $y = x^2$ вдоль оси ординат (оси $Oy$) приводит к функции вида $y = ax^2$. Коэффициент $a$ определяет степень растяжения или сжатия.

Если $|a| > 1$, график растягивается от оси $Ox$ в $|a|$ раз.

Если $0 < |a| < 1$, график сжимается к оси $Ox$ в $1/|a|$ раз.

Чтобы найти коэффициент $a$, нужно использовать тот факт, что итоговый график должен проходить через заданную точку $M_0(x_0; y_0)$. Это означает, что координаты точки должны удовлетворять уравнению функции $y = ax^2$. Подставив $x = x_0$ и $y = y_0$, получаем: $y_0 = a \cdot (x_0)^2$

Отсюда можно выразить коэффициент $a$: $a = \frac{y_0}{x_0^2}$ (при условии, что $x_0 \neq 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) M₀(2; 2)

Подставим координаты точки $M_0(2; 2)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{1}{2}x^2$. Поскольку $a = 1/2$, что меньше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно сжать вдоль оси $Oy$ в $1/a = 1/(1/2) = 2$ раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{1}{2}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(2; 2)$.

Ответ: График нужно сжать вдоль оси Oy в 2 раза. Уравнение функции: $y = \frac{1}{2}x^2$.

2) M₀(1; 2)

Подставим координаты точки $M_0(1; 2)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{2}{1^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = 2x^2$. Поскольку $a = 2$, что больше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно растянуть вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=2x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(1; 2)$.

Ответ: График нужно растянуть вдоль оси Oy в 2 раза. Уравнение функции: $y = 2x^2$.

3) M₀(2; 5)

Подставим координаты точки $M_0(2; 5)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{5}{4}x^2$. Поскольку $a = 1.25$, что больше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно растянуть вдоль оси $Oy$ в 1.25 раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{5}{4}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(2; 5)$.

Ответ: График нужно растянуть вдоль оси Oy в 1.25 раза (или в 5/4 раза). Уравнение функции: $y = \frac{5}{4}x^2$.

4) M₀(-3; 6)

Подставим координаты точки $M_0(-3; 6)$ в формулу для коэффициента $a$: $a = \frac{6}{(-3)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, уравнение новой функции: $y = \frac{2}{3}x^2$. Поскольку $a = 2/3$, что меньше 1, исходный график функции $y = x^2$ нужно сжать вдоль оси $Oy$ в $1/a = 1/(2/3) = 3/2 = 1.5$ раза.

Ниже представлен график исходной функции $y=x^2$ (серая линия) и полученной функции $y=\frac{2}{3}x^2$ (синяя линия), проходящей через точку $M_0(-3; 6)$.

Ответ: График нужно сжать вдоль оси Oy в 1.5 раза (или в 3/2 раза). Уравнение функции: $y = \frac{2}{3}x^2$.

1.82. Проходит ли график через точку $M_0$, полученный параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на вектор $\vec{a} = (-2; 3)$:

1) $M_0(-1; 4);$

2) $M_0(-1; 3);$

3) $M_0\left(-\frac{1}{2}; \frac{10}{3}\right);$

4) $M_0\left(-2\frac{1}{3}; 0\right)?$

Для решения задачи сначала найдем уравнение функции, график которой получен параллельным переносом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на вектор $\vec{a} = (-2; 3)$.

Общая формула для параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ на вектор с координатами $(m; n)$ имеет вид $y' = f(x-m) + n$. В нашем случае $f(x) = \frac{1}{x}$, $m = -2$ и $n = 3$.

Подставив эти значения, получаем уравнение нового графика:

$y = \frac{1}{x - (-2)} + 3$

$y = \frac{1}{x+2} + 3$

Теперь, чтобы проверить, проходит ли этот график через заданную точку $M_0(x_0; y_0)$, нужно подставить ее координаты в полученное уравнение. Если равенство будет верным, точка принадлежит графику.

1) $M_0(-1; 4)$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -1$ и $y_0 = 4$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$4 = \frac{1}{-1+2} + 3$
$4 = \frac{1}{1} + 3$
$4 = 1 + 3$
$4 = 4$
Равенство верное, следовательно, график проходит через эту точку.
Ответ: да, проходит.

2) $M_0(-1; 3)$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -1$ и $y_0 = 3$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$3 = \frac{1}{-1+2} + 3$
$3 = \frac{1}{1} + 3$
$3 = 1 + 3$
$3 = 4$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

3) $M_0(-\frac{1}{2}; \frac{10}{3})$;
Подставляем координаты точки $x_0 = -\frac{1}{2}$ и $y_0 = \frac{10}{3}$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$:
$\frac{10}{3} = \frac{1}{-\frac{1}{2} + 2} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{1}{\frac{3}{2}} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{2}{3} + 3$
$\frac{10}{3} = \frac{2}{3} + \frac{9}{3}$
$\frac{10}{3} = \frac{11}{3}$
Равенство неверное, следовательно, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

4) $M_0(-2\frac{1}{3}; 0)$?
Подставляем координаты точки $x_0 = -2\frac{1}{3}$ и $y_0 = 0$ в уравнение $y = \frac{1}{x+2} + 3$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
$0 = \frac{1}{-\frac{7}{3} + 2} + 3$
$0 = \frac{1}{-\frac{7}{3} + \frac{6}{3}} + 3$
$0 = \frac{1}{-\frac{1}{3}} + 3$
$0 = -3 + 3$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, график проходит через эту точку.
Ответ: да, проходит.