Страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. 1) $f(x) = \frac{2}{x-3}$;

2) $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$.

1) $f(x) = \frac{2}{x-3}$

Проведем полное исследование данной функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Область значений.

Поскольку числитель дроби равен 2 (константа, не равная нулю), значение дроби никогда не может быть равно нулю. Следовательно, $f(x) \neq 0$.
Область значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (полагаем $x=0$): $f(0) = \frac{2}{0-3} = -\frac{2}{3}$. Точка пересечения: $(0; -2/3)$.
С осью Ox (полагаем $f(x)=0$): $\frac{2}{x-3} = 0$. Уравнение не имеет решений. Пересечения с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Ищем в точке разрыва $x=3$.
$\lim_{x \to 3^+} \frac{2}{x-3} = \frac{2}{+0} = +\infty$
$\lim_{x \to 3^-} \frac{2}{x-3} = \frac{2}{-0} = -\infty$
Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x-3} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = \left(\frac{2}{x-3}\right)' = (2(x-3)^{-1})' = -2(x-3)^{-2} = -\frac{2}{(x-3)^2}$.
Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен в области определения. Числитель -2 отрицателен. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x \in D(f)$.
Функция убывает на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (-2(x-3)^{-2})' = (-2)(-2)(x-3)^{-3} = \frac{4}{(x-3)^3}$.
Если $x > 3$, то $(x-3)^3 > 0$, и $f''(x) > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(3; +\infty)$.
Если $x < 3$, то $(x-3)^3 < 0$, и $f''(x) < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх) на интервале $(-\infty; 3)$.
Точек перегиба нет, так как $x=3$ не принадлежит области определения.

7. Построение графика.

График функции — гипербола с центром в точке пересечения асимптот $(3; 0)$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно этих асимптот.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Асимптоты: $x=3$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная). Функция убывает на всей области определения. График — гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях относительно своих асимптот.

2) $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$

Проведем полное исследование данной функции для построения ее графика.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений.

Дробь $\frac{1}{x-2}$ не может равняться нулю. Следовательно, значение функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x-2}$ никогда не будет равно 1.
Область значений: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (полагаем $x=0$): $f(0) = 1 - \frac{1}{0-2} = 1 + 0.5 = 1.5$. Точка пересечения: $(0; 1.5)$.
С осью Ox (полагаем $f(x)=0$): $1 - \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x=3$. Точка пересечения: $(3; 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Ищем в точке разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2^+} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - (+\infty) = -\infty$
$\lim_{x \to 2^-} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - (-\infty) = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x-2}\right) = 1 - 0 = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = \left(1 - \frac{1}{x-2}\right)' = (-(x-2)^{-1})' = (x-2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2}$.
Так как $(x-2)^2 > 0$ для всех $x \in D(f)$, то $f'(x) > 0$ всегда.
Функция возрастает на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} = -\frac{2}{(x-2)^3}$.
Если $x > 2$, то $(x-2)^3 > 0$, и $f''(x) < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх) на интервале $(2; +\infty)$.
Если $x < 2$, то $(x-2)^3 < 0$, и $f''(x) > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-\infty; 2)$.
Точек перегиба нет, так как $x=2$ не принадлежит области определения.

7. Построение графика.

График функции — гипербола с центром в точке $(2; 1)$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=2$ и $y=1$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная). Функция возрастает на всей области определения. График — гипербола, расположенная во второй и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

1.65. 1) $f(x)=\frac{2x-3}{x-1};$

2) $f(x)=\frac{x-2}{x+1};$

3) $f(x)=x^3-8.$

1) Чтобы найти функцию, обратную к функции $f(x) = \frac{2x-3}{x-1}$, запишем ее в виде $y = \frac{2x-3}{x-1}$. Цель состоит в том, чтобы выразить $x$ через $y$.
Область определения исходной функции: $x \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)$:
$y(x-1) = 2x-3$
Раскроем скобки:
$yx - y = 2x - 3$
Соберем все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:
$yx - 2x = y - 3$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y-2) = y - 3$
Теперь выразим $x$:
$x = \frac{y-3}{y-2}$
На этом шаге мы видим, что область значений исходной функции — все действительные числа, кроме $y=2$.
Для нахождения обратной функции $f^{-1}(x)$ поменяем местами переменные $x$ и $y$ в полученном выражении:
$y = \frac{x-3}{x-2}$
Следовательно, обратная функция есть $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$

2) Найдем функцию, обратную к $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$.
Запишем функцию как $y = \frac{x-2}{x+1}$. Область определения: $x \neq -1$.
Выразим $x$ через $y$. Для этого умножим обе части на $(x+1)$:
$y(x+1) = x-2$
$yx + y = x-2$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а остальные в другую:
$yx - x = -y - 2$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(y-1) = -y - 2$
Выразим $x$:
$x = \frac{-y-2}{y-1}$ или $x = \frac{y+2}{1-y}$
Область значений исходной функции: $y \neq 1$.
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию $f^{-1}(x)$:
$y = \frac{-x-2}{x-1}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-x-2}{x-1}$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-x-2}{x-1}$

3) Найдем функцию, обратную к $f(x) = x^3 - 8$.
Запишем функцию как $y = x^3 - 8$.
Данная функция определена для всех действительных $x$.
Выразим $x$ через $y$.
$x^3 = y + 8$
Возьмем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{y+8}$
Чтобы найти обратную функцию $f^{-1}(x)$, поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \sqrt[3]{x+8}$
Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+8}$. Она также определена для всех действительных $x$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+8}$

1.66. 1) $y = x^4 - 10x^2 + 9;$

2) $y = x^3 - 2x;$

3) $y = x^3 - 3x + 2;$

4) $y = x^4 + 2x^2 + 1.$

1) $y = x^4 - 10x^2 + 9$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^4 - 10(-x)^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9 = y(x)$.
Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x = 0 \implies y = 0^4 - 10 \cdot 0^2 + 9 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
С осью Ox: $y = 0 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 10t + 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.
Возвращаемся к замене:
$x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1$.
$x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0), (-1, 0), (1, 0), (3, 0)$.

4. Асимптоты.
Функция является многочленом, поэтому вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот не имеет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную:
$y' = (x^4 - 10x^2 + 9)' = 4x^3 - 20x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 20x = 0 \implies 4x(x^2 - 5) = 0$.
Критические точки: $x=0$, $x=\sqrt{5}$, $x=-\sqrt{5}$.
Исследуем знаки производной на интервалах:
- $(-\infty; -\sqrt{5})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(-\sqrt{5}; 0)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(0; \sqrt{5})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(\sqrt{5}; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точки экстремума:
$x = -\sqrt{5}$ — точка локального минимума. $y(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 - 10(-\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$.
$x = 0$ — точка локального максимума. $y(0) = 9$.
$x = \sqrt{5}$ — точка локального минимума. $y(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$y'' = (4x^3 - 20x)' = 12x^2 - 20$.
Найдем точки, где вторая производная равна нулю:
$12x^2 - 20 = 0 \implies x^2 = 20/12 = 5/3 \implies x = \pm\sqrt{5/3}$.
Исследуем знаки второй производной:
- $(-\infty; -\sqrt{5/3})$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
- $(-\sqrt{5/3}; \sqrt{5/3})$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
- $(\sqrt{5/3}; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
Точки $x = \pm\sqrt{5/3}$ являются точками перегиба.
$y(\pm\sqrt{5/3}) = (\frac{5}{3})^2 - 10(\frac{5}{3}) + 9 = \frac{25}{9} - \frac{50}{3} + 9 = \frac{25 - 150 + 81}{9} = -\frac{44}{9} \approx -4.89$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^4 - 10x^2 + 9$ четная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 9)$, $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.
Функция убывает на $(-\infty; -\sqrt{5}] \cup [0; \sqrt{5}]$ и возрастает на $[-\sqrt{5}; 0] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.
Локальный максимум: $(0, 9)$. Локальные минимумы: $(-\sqrt{5}, -16)$ и $(\sqrt{5}, -16)$.
График выпуклый вверх на $[-\sqrt{5/3}; \sqrt{5/3}]$ и выпуклый вниз на $(-\infty; -\sqrt{5/3}] \cup [\sqrt{5/3}; +\infty)$.
Точки перегиба: $(\pm\sqrt{5/3}, -44/9)$.

2) $y = x^3 - 2x$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -y(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2 - 2) = 0$.
Корни: $x=0$, $x=\pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.
$y' = 0 \implies 3x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2/3 \implies x = \pm\sqrt{2/3}$.
- $(-\infty; -\sqrt{2/3})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3})$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(\sqrt{2/3}; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -\sqrt{2/3}$ — точка локального максимума. $y(-\sqrt{2/3}) = (-\sqrt{2/3})^3 - 2(-\sqrt{2/3}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} + 2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{9} \approx 1.09$.
$x = \sqrt{2/3}$ — точка локального минимума. $y(\sqrt{2/3}) = -\frac{4\sqrt{6}}{9} \approx -1.09$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (3x^2 - 2)' = 6x$.
$y'' = 0 \implies x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $(0; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
$x=0$ — точка перегиба. $y(0)=0$. Точка перегиба $(0,0)$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^3 - 2x$ нечетная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2/3}] \cup [\sqrt{2/3}; +\infty)$ и убывает на $[-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3}]$.
Локальный максимум: $(-\sqrt{2/3}, 4\sqrt{6}/9)$. Локальный минимум: $(\sqrt{2/3}, -4\sqrt{6}/9)$.
График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

3) $y = x^3 - 3x + 2$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$.
$y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y=2$. Точка $(0, 2)$.
С осью Ox: $y=0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$.
Подбором находим корень $x=1$. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.
Корни: $x=1$ (кратность 2) и $x=-2$.
Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (касание).

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
$y' = 0 \implies x^2-1=0 \implies x = \pm 1$.
- $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $(-1; 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = -1$ — точка локального максимума. $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.
$x = 1$ — точка локального минимума. $y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
$y'' = 0 \implies x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $(0; +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
$x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Точка перегиба $(0,2)$.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^3 - 3x + 2$ общего вида, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точки пересечения с осями: $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(1, 0)$ (касание).
Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$.
Локальный максимум: $(-1, 4)$. Локальный минимум: $(1, 0)$.
График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$.
Точка перегиба: $(0, 2)$.

4) $y = x^4 + 2x^2 + 1$

1. Область определения.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 = y(x)$.
Функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.
Также можно заметить, что $y = (x^2 + 1)^2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \implies y = (0^2+1)^2 = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox: $y=0 \implies (x^2+1)^2 = 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.
Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$y' = (x^4 + 2x^2 + 1)' = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)$.
$y' = 0 \implies 4x(x^2 + 1) = 0$. Так как $x^2+1 > 0$, единственная критическая точка $x=0$.
- $(-\infty; 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $(0; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
$x = 0$ — точка локального минимума. $y(0) = 1$. Так как $y(x) = (x^2+1)^2 \ge 1$ для всех $x$, это точка глобального минимума.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$y'' = (4x^3 + 4x)' = 12x^2 + 4$.
Так как $12x^2 \ge 0$, то $y'' = 12x^2 + 4 > 0$ для всех $x$.
График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

7. График функции.

Ответ: Функция $y = x^4 + 2x^2 + 1$ четная, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Пересечений с Ox нет.
Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
Глобальный минимум: $(0, 1)$.
График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

1.67.

1) $y = \frac{3x - x^2 - 2}{3x^2 - x - 2}$;

2) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 8x + 15}$.

1) $y = \frac{3x - x^2 - 2}{3x^2 - x - 2}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данной дробно-рациональной функции знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:

$3x^2 - x - 2 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Следовательно, знаменатель равен нулю при $x = -2/3$ и $x = 1$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-2/3$ и $1$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 8x + 15}$

Область определения данной функции — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю и найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$, $x_2 = 5$

Значит, при $x = 3$ и $x = 5$ знаменатель обращается в ноль. Эти значения не входят в область определения функции. Областью определения функции являются все действительные числа, за исключением $3$ и $5$.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

1.68. 1) $y = |x - 1|;$

2) $y = |x^2 - 4x - 12|;$

3) $y = |x + 3| - |2x - 1|;$

4) $y = 2x^2 - |x| + 1.$

1) y = |x - 1|
Для построения графика функции $y = |x - 1|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа (или выражения) равен самому числу (выражению), если оно неотрицательно, и равен противоположному числу (выражению), если оно отрицательно.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, тогда $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = x - 1$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, тогда $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид $y = -x + 1$.
Таким образом, график функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки.
- На промежутке $[1, +\infty)$ строим график прямой $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
- На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график прямой $y = -x + 1$. Это луч, также выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 1)$.
Точка $(1, 0)$ является вершиной графика. График функции $y = |x - 1|$ можно также получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 1 единицу вправо по оси Ox.

График функции:

Ответ: График функции $y = |x - 1|$ представляет собой два луча, $y = x - 1$ для $x \ge 1$ и $y = -x + 1$ для $x < 1$, с общей вершиной в точке $(1, 0)$.

2) y = |x² - 4x - 12|
Для построения графика этой функции сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 4x - 12$, а затем отразим ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
1. Исследуем параболу $y_1 = x^2 - 4x - 12$.
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$).
- Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.
$y_v = (2)^2 - 4(2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$.
Вершина находится в точке $(2, -16)$.
- Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
- Найдем точку пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1 = -12$. Точка $(0, -12)$.
2. Строим график $y = |x^2 - 4x - 12|$.
- Часть параболы $y_1 = x^2 - 4x - 12$, где $y_1 \ge 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$), остается без изменений.
- Часть параболы, где $y_1 < 0$ (то есть при $x \in (-2, 6)$), отражается симметрично относительно оси Ox. Это означает, что для этой части мы строим график функции $y = -(x^2 - 4x - 12) = -x^2 + 4x + 12$.
- Вершина исходной параболы $(2, -16)$ после отражения перейдет в точку $(2, 16)$, которая станет локальным максимумом для графика $y$.
- Точка пересечения с осью Oy $(0, -12)$ перейдет в точку $(0, 12)$.

График функции:

Ответ: График получается из параболы $y=x^2-4x-12$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (-2, 6)$) относительно оси Ox. График касается оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(6, 0)$ и имеет локальный максимум в точке $(2, 16)$.

3) y = |x + 3| - |2x - 1|
Для построения графика функции, содержащей несколько модулей, используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, 1/2)$, $[1/2, +\infty)$. Раскроем модули на каждом из интервалов.
1. При $x < -3$:
$x+3 < 0 \implies |x+3| = -(x+3) = -x-3$
$2x-1 < 0 \implies |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$
$y = (-x-3) - (-2x+1) = -x-3+2x-1 = x-4$.
2. При $-3 \le x < 1/2$:
$x+3 \ge 0 \implies |x+3| = x+3$
$2x-1 < 0 \implies |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$
$y = (x+3) - (-2x+1) = x+3+2x-1 = 3x+2$.
3. При $x \ge 1/2$:
$x+3 > 0 \implies |x+3| = x+3$
$2x-1 \ge 0 \implies |2x-1| = 2x-1$
$y = (x+3) - (2x-1) = x+3-2x+1 = -x+4$.

Получили кусочно-линейную функцию:
$y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x < -3 \\ 3x + 2, & \text{если } -3 \le x < 1/2 \\ -x + 4, & \text{если } x \ge 1/2 \end{cases}$
Строим график, состоящий из трех частей. Найдем значения в "стыковочных" точках:
- При $x = -3$: $y = 3(-3) + 2 = -7$. Точка $(-3, -7)$.
- При $x = 1/2$: $y = 3(1/2) + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$. Точка $(0.5, 3.5)$.
График состоит из луча $y=x-4$ на $(-\infty, -3)$, отрезка $y=3x+2$ на $[-3, 1/2]$ и луча $y=-x+4$ на $[1/2, +\infty)$.

График функции:

Ответ: График функции является ломаной линией с вершинами в точках $(-3, -7)$ и $(0.5, 3.5)$.

4) y = 2x² - |x| + 1
Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - |-x| + 1 = 2x^2 - |x| + 1 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.
1. Рассмoтрим случай $x \ge 0$.
Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 - x + 1$.
Это парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$).
Найдем ее вершину:
$x_v = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$.
$y_v = 2(1/4)^2 - 1/4 + 1 = 2/16 - 1/4 + 1 = 1/8 - 2/8 + 8/8 = 7/8$.
Вершина находится в точке $(1/4, 7/8)$. Так как $x_v = 1/4 \ge 0$, эта вершина принадлежит правой части графика.
Найдем точку пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = 2(0)^2 - 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
2. Строим график.
- Для $x \ge 0$ строим часть параболы $y = 2x^2 - x + 1$. Она начинается в точке $(0, 1)$, опускается до вершины $(1/4, 7/8)$, а затем поднимается. Например, при $x=1, y=2$, при $x=2, y=7$.
- Для $x < 0$ отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. График для $x<0$ будет описываться функцией $y = 2x^2 - (-x) + 1 = 2x^2 + x + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(-1/4, 7/8)$.
В результате получается график, похожий на букву "W". Он имеет два локальных минимума в точках $(-1/4, 7/8)$ и $(1/4, 7/8)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.

График функции:

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из двух частей парабол, $y=2x^2-x+1$ для $x \ge 0$ и $y=2x^2+x+1$ для $x < 0$. График имеет форму буквы 'W' с локальными минимумами в точках $(\pm 1/4, 7/8)$ и локальным максимумом (точкой "излома") в $(0, 1)$.

1.69. 1) $y = \frac{x^2 - x}{x^3 + x^2 - 2x}$;

2) $y = x^2 - |x - 2| - 4$;

3) $y = (x + 1)(|x| - 2)$;

4) $y = \frac{|x - 2| + 1}{x + 3}$.

1) $y = \frac{x^2 - x}{x^3 + x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^3 + x^2 - 2x \neq 0$

$x(x^2 + x - 2) \neq 0$

$x(x-1)(x+2) \neq 0$

Отсюда получаем, что $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 1) \cup (1; \infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{x(x - 1)}{x(x+2)(x-1)}$

При $x \neq 0$ и $x \neq 1$ можно сократить дробь:

$y = \frac{1}{x+2}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x+2}$ во всех точках, кроме тех, где $x=0$ и $x=1$. В этих точках на графике будут "выколотые" точки.

Найдем координаты этих точек, подставляя значения $x$ в упрощенную функцию:

• При $x=1$, $y = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$. Координаты первой выколотой точки: $(1; \frac{1}{3})$.

• При $x=0$, $y = \frac{1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Координаты второй выколотой точки: $(0; \frac{1}{2})$.

График функции $y = \frac{1}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: График функции является гиперболой $y=\frac{1}{x+2}$ с вертикальной асимптотой $x=-2$ и выколотыми точками $(0; \frac{1}{2})$ и $(1; \frac{1}{3})$.

2) $y = x^2 - |x-2| - 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-2$.

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. В этом случае $|x-2| = x-2$.

$y = x^2 - (x-2) - 4 = x^2 - x - 2$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} < 2$, вершина не принадлежит этому участку графика.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$. В этом случае $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$y = x^2 - (-x+2) - 4 = x^2 + x - 6$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} < 2$, вершина принадлежит этому участку графика. Найдем ординату вершины: $y_v = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(-0.5; -6.25)$.

Проверим непрерывность функции в точке "склейки" $x=2$. Для обеих частей функции при $x=2$ получаем $y=2^2-2-2=0$ и $y=2^2+2-6=0$. Функция непрерывна, точка "склейки" имеет координаты $(2; 0)$.

Итак, график состоит из двух частей парабол:

$y = \begin{cases} x^2+x-6, & \text{если } x < 2 \\ x^2-x-2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(2; 0)$. При $x < 2$ это парабола $y = x^2 + x - 6$ с вершиной в точке $(-0.5; -6.25)$, а при $x \ge 2$ это часть параболы $y = x^2 - x - 2$.

3) $y = (x+1)(|x|-2)$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

$y = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_v = \frac{1}{2}$, $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -2.25$. Вершина $(0.5; -2.25)$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

2. Если $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

$y = (x+1)(-x-2) = -(x+1)(x+2) = -x^2 - 3x - 2$.

Это парабола с ветвями вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{3}{2} = -1.5$, $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) - 2 = 0.25$. Вершина $(-1.5; 0.25)$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$.

В точке $x=0$ обе части графика сходятся в точке $(0; -2)$, функция непрерывна.

Итак, график состоит из двух частей парабол:

$y = \begin{cases} -x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < 0 \\ x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(0; -2)$. При $x < 0$ это парабола $y = -x^2 - 3x - 2$ (ветви вниз, вершина $(-1.5; 0.25)$), а при $x \ge 0$ это парабола $y = x^2 - x - 2$ (ветви вверх, вершина $(0.5; -2.25)$).

4) $y = \frac{|x-2|+1}{x+3}$

Найдем область определения: знаменатель $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$. Имеется вертикальная асимптота $x=-3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

$y = \frac{(x-2)+1}{x+3} = \frac{x-1}{x+3}$. Преобразуем дробь: $y = \frac{x+3-4}{x+3} = 1 - \frac{4}{x+3}$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота справа.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

$y = \frac{-(x-2)+1}{x+3} = \frac{-x+3}{x+3}$. Преобразуем дробь: $y = \frac{-(x+3)+6}{x+3} = -1 + \frac{6}{x+3}$. При $x \to -\infty$, $y \to -1$. Следовательно, $y=-1$ — горизонтальная асимптота слева.

В точке "склейки" $x=2$ функция непрерывна, так как для обеих частей $y(2)=\frac{1}{5}$.

Итак, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} -1 + \frac{6}{x+3}, & \text{если } x < 2, x \neq -3 \\ 1 - \frac{4}{x+3}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и две разные горизонтальные асимптоты: $y=-1$ (при $x \to -\infty$) и $y=1$ (при $x \to +\infty$). При $x<2$ график является частью гиперболы $y = \frac{-x+3}{x+3}$, а при $x \ge 2$ — частью гиперболы $y = \frac{x-1}{x+3}$.

1.70. С помощью шаблона графика функции $y = x^2$ постройте график функции:

1) $y = x^2 - 8x + 7$;

2) $y = x^2 + 4x + 3?

1) $y = x^2 - 8x + 7$

Для того чтобы построить график функции $y = x^2 - 8x + 7$ с помощью шаблона (графика функции $y = x^2$), необходимо преобразовать данное уравнение к каноническому виду $y = a(x - h)^2 + k$. В нашем случае коэффициент $a=1$. Преобразование выполняется методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 - 8x$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4) + 7$

Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять квадрат второго члена, то есть $4^2 = 16$.

$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7$

Теперь сворачиваем скобку по формуле квадрата разности:

$y = (x - 4)^2 - 9$

Из полученного уравнения видно, что график функции $y = x^2 - 8x + 7$ можно получить из графика-шаблона $y = x^2$ с помощью двух последовательных сдвигов (параллельных переносов):

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y = (x - 4)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x - 4)^2$ на 9 единиц вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график $y = (x - 4)^2 - 9$. Вершина параболы перемещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, -9)$.

Таким образом, вершина итоговой параболы находится в точке $(4, -9)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 8x + 7$ — это парабола, которая получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 9 единиц вниз. Вершина параболы расположена в точке $(4, -9)$.

2) $y = x^2 + 4x + 3$

Так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат, чтобы привести его к виду $y = (x - h)^2 + k$.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 4x$:

$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2) + 3$

Прибавим и отнимем квадрат второго члена, то есть $2^2 = 4$.

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3$

Сворачиваем скобку по формуле квадрата суммы:

$y = (x + 2)^2 - 1$

Данное уравнение показывает, что график функции $y = x^2 + 4x + 3$ можно получить из графика-шаблона $y = x^2$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox (так как $x+2 = x - (-2)$). В результате получаем график функции $y = (x + 2)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x + 2)^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график $y = (x + 2)^2 - 1$. Вершина параболы перемещается из точки $(-2, 0)$ в точку $(-2, -1)$.

Таким образом, вершина итоговой параболы находится в точке $(-2, -1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 3$ — это парабола, которая получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина параболы расположена в точке $(-2, -1)$.

1.71. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$

2) $3, 6, 12, 24, 48, \dots$

1) Рассмотрим данную последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \ldots$
Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ - это порядковый номер члена, начиная с 1.
$a_1 = 1$
$a_2 = \frac{1}{4}$
$a_3 = \frac{1}{9}$
$a_4 = \frac{1}{16}$
Чтобы найти общую формулу, проанализируем, как каждый член зависит от своего номера $n$.
Числитель у всех членов (кроме первого, который можно представить как $\frac{1}{1}$) равен 1.
Знаменатели образуют последовательность $1, 4, 9, 16, \ldots$. Легко заметить, что это последовательность квадратов натуральных чисел:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n^2$.
Собирая все вместе, получаем формулу для общего члена последовательности: $a_n = \frac{1}{n^2}$.
Проверим формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$, $a_1 = \frac{1}{1^2} = 1$. Верно.
При $n=2$, $a_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Верно.
При $n=3$, $a_3 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Верно.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$

2) Рассмотрим данную последовательность: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$
Обозначим члены последовательности как $b_n$, где $n$ - это порядковый номер члена, начиная с 1.
$b_1 = 3$
$b_2 = 6$
$b_3 = 12$
$b_4 = 24$
$b_5 = 48$
Попробуем найти закономерность. Вычислим отношение каждого следующего члена к предыдущему:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{12}{6} = 2$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{24}{12} = 2$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{48}{24} = 2$
Так как каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (2), данная последовательность является геометрической прогрессией.
Первый член прогрессии $b_1 = 3$.
Знаменатель прогрессии $q = 2$.
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим в эту формулу наши значения $b_1=3$ и $q=2$:
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.
Проверим формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$, $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.
При $n=2$, $b_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$. Верно.
При $n=3$, $b_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Верно.
Ответ: $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

1.72. Докажите тождество:

1) $(1+\operatorname{tg}^2\beta)(1-\cos^2\beta) = \operatorname{tg}^2\beta;$

2) $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha} = 2\operatorname{tg} \alpha.$

1) Для доказательства тождества $(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \text{tg}^2\beta$ преобразуем его левую часть. Тождество имеет смысл при условии, что $\text{tg}\beta$ определен, то есть $\cos\beta \neq 0$.
Используем известные тригонометрические формулы: основное тригонометрическое тождество в виде $1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$ и следствие из него $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, из которого получаем $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \left(\frac{1}{\cos^2\beta}\right) \cdot (\sin^2\beta) = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.
Согласно определению тангенса, $\text{tg}^2\beta = \left(\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right)^2 = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.
Таким образом, левая часть тождества равна $\text{tg}^2\beta$, что совпадает с правой частью. Равенство $\text{tg}^2\beta = \text{tg}^2\beta$ верно для всех допустимых значений $\beta$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Рассмотрим равенство $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha \cdot \text{ctg}\alpha} = 2\text{tg}\alpha$.
Область допустимых значений для данного выражения определяется условиями существования тангенса ($\cos\alpha \neq 0$) и котангенса ($\sin\alpha \neq 0$).
Преобразуем левую часть равенства. Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Преобразуем числитель дроби:
$\sin\alpha + \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha + \sin\alpha = 2\sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$\cos\alpha + \sin\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \cos\alpha + \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{2\sin\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
В результате преобразования левой части мы получили $\text{tg}\alpha$. Правая часть исходного равенства равна $2\text{tg}\alpha$.
Равенство $\text{tg}\alpha = 2\text{tg}\alpha$ выполняется только при $\text{tg}\alpha = 0$, что соответствует $\alpha = \pi n$ для целых $n$. Однако при этих значениях $\sin\alpha = 0$, и, следовательно, $\text{ctg}\alpha$ не определен, то есть эти значения не входят в область допустимых значений исходного выражения.
Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: исходное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $\text{tg}\alpha$, а не $2\text{tg}\alpha$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

1.73. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3|x| = 0;$

2) $2p^2 + 3|p| - 7p = 0.$

1) $x^2 - 3|x| = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Для его решения воспользуемся свойством, что для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $x^2 = |x|^2$. Запишем уравнение в виде:

$|x|^2 - 3|x| = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $|x|$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Подставив $y$ в уравнение, получим:

$y^2 - 3y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = 0$, то $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

2. Если $y = 3$, то $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: -3; 0; 3.

2) $2p^2 + 3|p| - 7p = 0$

Это уравнение также содержит переменную под знаком модуля. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $p$.

Случай 1: $p \ge 0$.

В этом случае по определению модуля $|p| = p$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2p^2 + 3p - 7p = 0$

Упростим уравнение:

$2p^2 - 4p = 0$

Вынесем общий множитель $2p$ за скобки:

$2p(p - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $p_1 = 0$ и $p_2 = 2$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $p \ge 0$.

Корень $p_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge 0$, значит, является решением.

Корень $p_2 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$, значит, является решением.

Случай 2: $p < 0$.

В этом случае по определению модуля $|p| = -p$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2p^2 + 3(-p) - 7p = 0$

Упростим уравнение:

$2p^2 - 3p - 7p = 0$

$2p^2 - 10p = 0$

Вынесем общий множитель $2p$ за скобки:

$2p(p - 5) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $p_3 = 0$ и $p_4 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $p < 0$.

Корень $p_3 = 0$ не удовлетворяет строгому неравенству $0 < 0$.

Корень $p_4 = 5$ не удовлетворяет неравенству $5 < 0$.

Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет два корня: 0 и 2.

Ответ: 0; 2.