Номер 1.71, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$

2) $3, 6, 12, 24, 48, \dots$

1) Рассмотрим данную последовательность: $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \ldots$
Обозначим члены последовательности как $a_n$, где $n$ - это порядковый номер члена, начиная с 1.
$a_1 = 1$
$a_2 = \frac{1}{4}$
$a_3 = \frac{1}{9}$
$a_4 = \frac{1}{16}$
Чтобы найти общую формулу, проанализируем, как каждый член зависит от своего номера $n$.
Числитель у всех членов (кроме первого, который можно представить как $\frac{1}{1}$) равен 1.
Знаменатели образуют последовательность $1, 4, 9, 16, \ldots$. Легко заметить, что это последовательность квадратов натуральных чисел:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, знаменатель n-го члена равен $n^2$.
Собирая все вместе, получаем формулу для общего члена последовательности: $a_n = \frac{1}{n^2}$.
Проверим формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$, $a_1 = \frac{1}{1^2} = 1$. Верно.
При $n=2$, $a_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Верно.
При $n=3$, $a_3 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Верно.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$

2) Рассмотрим данную последовательность: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$
Обозначим члены последовательности как $b_n$, где $n$ - это порядковый номер члена, начиная с 1.
$b_1 = 3$
$b_2 = 6$
$b_3 = 12$
$b_4 = 24$
$b_5 = 48$
Попробуем найти закономерность. Вычислим отношение каждого следующего члена к предыдущему:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{12}{6} = 2$
$\frac{b_4}{b_3} = \frac{24}{12} = 2$
$\frac{b_5}{b_4} = \frac{48}{24} = 2$
Так как каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (2), данная последовательность является геометрической прогрессией.
Первый член прогрессии $b_1 = 3$.
Знаменатель прогрессии $q = 2$.
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим в эту формулу наши значения $b_1=3$ и $q=2$:
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.
Проверим формулу для первых нескольких членов:
При $n=1$, $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.
При $n=2$, $b_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$. Верно.
При $n=3$, $b_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Верно.
Ответ: $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$