Номер 1.70, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. С помощью шаблона графика функции $y = x^2$ постройте график функции:

1) $y = x^2 - 8x + 7$;

2) $y = x^2 + 4x + 3?

1) $y = x^2 - 8x + 7$

Для того чтобы построить график функции $y = x^2 - 8x + 7$ с помощью шаблона (графика функции $y = x^2$), необходимо преобразовать данное уравнение к каноническому виду $y = a(x - h)^2 + k$. В нашем случае коэффициент $a=1$. Преобразование выполняется методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 - 8x$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4) + 7$

Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять квадрат второго члена, то есть $4^2 = 16$.

$y = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7$

Теперь сворачиваем скобку по формуле квадрата разности:

$y = (x - 4)^2 - 9$

Из полученного уравнения видно, что график функции $y = x^2 - 8x + 7$ можно получить из графика-шаблона $y = x^2$ с помощью двух последовательных сдвигов (параллельных переносов):

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. В результате получаем график функции $y = (x - 4)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x - 4)^2$ на 9 единиц вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график $y = (x - 4)^2 - 9$. Вершина параболы перемещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, -9)$.

Таким образом, вершина итоговой параболы находится в точке $(4, -9)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 8x + 7$ — это парабола, которая получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 9 единиц вниз. Вершина параболы расположена в точке $(4, -9)$.

2) $y = x^2 + 4x + 3$

Так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат, чтобы привести его к виду $y = (x - h)^2 + k$.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 4x$:

$y = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2) + 3$

Прибавим и отнимем квадрат второго члена, то есть $2^2 = 4$.

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3$

Сворачиваем скобку по формуле квадрата суммы:

$y = (x + 2)^2 - 1$

Данное уравнение показывает, что график функции $y = x^2 + 4x + 3$ можно получить из графика-шаблона $y = x^2$ следующими преобразованиями:

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox (так как $x+2 = x - (-2)$). В результате получаем график функции $y = (x + 2)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x + 2)^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. В результате получаем искомый график $y = (x + 2)^2 - 1$. Вершина параболы перемещается из точки $(-2, 0)$ в точку $(-2, -1)$.

Таким образом, вершина итоговой параболы находится в точке $(-2, -1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 3$ — это парабола, которая получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина параболы расположена в точке $(-2, -1)$.