Номер 1.68, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. 1) $y = |x - 1|;$

2) $y = |x^2 - 4x - 12|;$

3) $y = |x + 3| - |2x - 1|;$

4) $y = 2x^2 - |x| + 1.$

1) y = |x - 1|
Для построения графика функции $y = |x - 1|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа (или выражения) равен самому числу (выражению), если оно неотрицательно, и равен противоположному числу (выражению), если оно отрицательно.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, тогда $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид $y = x - 1$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, тогда $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид $y = -x + 1$.
Таким образом, график функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки.
- На промежутке $[1, +\infty)$ строим график прямой $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
- На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график прямой $y = -x + 1$. Это луч, также выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 1)$.
Точка $(1, 0)$ является вершиной графика. График функции $y = |x - 1|$ можно также получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 1 единицу вправо по оси Ox.

График функции:

Ответ: График функции $y = |x - 1|$ представляет собой два луча, $y = x - 1$ для $x \ge 1$ и $y = -x + 1$ для $x < 1$, с общей вершиной в точке $(1, 0)$.

2) y = |x² - 4x - 12|
Для построения графика этой функции сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 4x - 12$, а затем отразим ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
1. Исследуем параболу $y_1 = x^2 - 4x - 12$.
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$).
- Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.
$y_v = (2)^2 - 4(2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$.
Вершина находится в точке $(2, -16)$.
- Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
- Найдем точку пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1 = -12$. Точка $(0, -12)$.
2. Строим график $y = |x^2 - 4x - 12|$.
- Часть параболы $y_1 = x^2 - 4x - 12$, где $y_1 \ge 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty)$), остается без изменений.
- Часть параболы, где $y_1 < 0$ (то есть при $x \in (-2, 6)$), отражается симметрично относительно оси Ox. Это означает, что для этой части мы строим график функции $y = -(x^2 - 4x - 12) = -x^2 + 4x + 12$.
- Вершина исходной параболы $(2, -16)$ после отражения перейдет в точку $(2, 16)$, которая станет локальным максимумом для графика $y$.
- Точка пересечения с осью Oy $(0, -12)$ перейдет в точку $(0, 12)$.

График функции:

Ответ: График получается из параболы $y=x^2-4x-12$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (-2, 6)$) относительно оси Ox. График касается оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(6, 0)$ и имеет локальный максимум в точке $(2, 16)$.

3) y = |x + 3| - |2x - 1|
Для построения графика функции, содержащей несколько модулей, используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, 1/2)$, $[1/2, +\infty)$. Раскроем модули на каждом из интервалов.
1. При $x < -3$:
$x+3 < 0 \implies |x+3| = -(x+3) = -x-3$
$2x-1 < 0 \implies |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$
$y = (-x-3) - (-2x+1) = -x-3+2x-1 = x-4$.
2. При $-3 \le x < 1/2$:
$x+3 \ge 0 \implies |x+3| = x+3$
$2x-1 < 0 \implies |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$
$y = (x+3) - (-2x+1) = x+3+2x-1 = 3x+2$.
3. При $x \ge 1/2$:
$x+3 > 0 \implies |x+3| = x+3$
$2x-1 \ge 0 \implies |2x-1| = 2x-1$
$y = (x+3) - (2x-1) = x+3-2x+1 = -x+4$.

Получили кусочно-линейную функцию:
$y = \begin{cases} x - 4, & \text{если } x < -3 \\ 3x + 2, & \text{если } -3 \le x < 1/2 \\ -x + 4, & \text{если } x \ge 1/2 \end{cases}$
Строим график, состоящий из трех частей. Найдем значения в "стыковочных" точках:
- При $x = -3$: $y = 3(-3) + 2 = -7$. Точка $(-3, -7)$.
- При $x = 1/2$: $y = 3(1/2) + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$. Точка $(0.5, 3.5)$.
График состоит из луча $y=x-4$ на $(-\infty, -3)$, отрезка $y=3x+2$ на $[-3, 1/2]$ и луча $y=-x+4$ на $[1/2, +\infty)$.

График функции:

Ответ: График функции является ломаной линией с вершинами в точках $(-3, -7)$ и $(0.5, 3.5)$.

4) y = 2x² - |x| + 1
Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - |-x| + 1 = 2x^2 - |x| + 1 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.
1. Рассмoтрим случай $x \ge 0$.
Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 - x + 1$.
Это парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$).
Найдем ее вершину:
$x_v = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$.
$y_v = 2(1/4)^2 - 1/4 + 1 = 2/16 - 1/4 + 1 = 1/8 - 2/8 + 8/8 = 7/8$.
Вершина находится в точке $(1/4, 7/8)$. Так как $x_v = 1/4 \ge 0$, эта вершина принадлежит правой части графика.
Найдем точку пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = 2(0)^2 - 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
2. Строим график.
- Для $x \ge 0$ строим часть параболы $y = 2x^2 - x + 1$. Она начинается в точке $(0, 1)$, опускается до вершины $(1/4, 7/8)$, а затем поднимается. Например, при $x=1, y=2$, при $x=2, y=7$.
- Для $x < 0$ отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. График для $x<0$ будет описываться функцией $y = 2x^2 - (-x) + 1 = 2x^2 + x + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(-1/4, 7/8)$.
В результате получается график, похожий на букву "W". Он имеет два локальных минимума в точках $(-1/4, 7/8)$ и $(1/4, 7/8)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.

График функции:

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из двух частей парабол, $y=2x^2-x+1$ для $x \ge 0$ и $y=2x^2+x+1$ для $x < 0$. График имеет форму буквы 'W' с локальными минимумами в точках $(\pm 1/4, 7/8)$ и локальным максимумом (точкой "излома") в $(0, 1)$.