Номер 1.72, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Докажите тождество:

1) $(1+\operatorname{tg}^2\beta)(1-\cos^2\beta) = \operatorname{tg}^2\beta;$

2) $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha} = 2\operatorname{tg} \alpha.$

1) Для доказательства тождества $(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \text{tg}^2\beta$ преобразуем его левую часть. Тождество имеет смысл при условии, что $\text{tg}\beta$ определен, то есть $\cos\beta \neq 0$.
Используем известные тригонометрические формулы: основное тригонометрическое тождество в виде $1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$ и следствие из него $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, из которого получаем $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \left(\frac{1}{\cos^2\beta}\right) \cdot (\sin^2\beta) = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.
Согласно определению тангенса, $\text{tg}^2\beta = \left(\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right)^2 = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.
Таким образом, левая часть тождества равна $\text{tg}^2\beta$, что совпадает с правой частью. Равенство $\text{tg}^2\beta = \text{tg}^2\beta$ верно для всех допустимых значений $\beta$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Рассмотрим равенство $\frac{\sin\alpha + \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha \cdot \text{ctg}\alpha} = 2\text{tg}\alpha$.
Область допустимых значений для данного выражения определяется условиями существования тангенса ($\cos\alpha \neq 0$) и котангенса ($\sin\alpha \neq 0$).
Преобразуем левую часть равенства. Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Преобразуем числитель дроби:
$\sin\alpha + \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha + \sin\alpha = 2\sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$\cos\alpha + \sin\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \cos\alpha + \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{2\sin\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
В результате преобразования левой части мы получили $\text{tg}\alpha$. Правая часть исходного равенства равна $2\text{tg}\alpha$.
Равенство $\text{tg}\alpha = 2\text{tg}\alpha$ выполняется только при $\text{tg}\alpha = 0$, что соответствует $\alpha = \pi n$ для целых $n$. Однако при этих значениях $\sin\alpha = 0$, и, следовательно, $\text{ctg}\alpha$ не определен, то есть эти значения не входят в область допустимых значений исходного выражения.
Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: исходное равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $\text{tg}\alpha$, а не $2\text{tg}\alpha$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.