Номер 1.76, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Постройте график функции с помощью параллельного переноса:

1) $y = (x - 3)^2 + 1$;

2) $y = x^2 - 4x + 5$;

3) $y = 7 - 6x - x^2$;

4) $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$;

5) $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$;

6) $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$.

1) $y = (x - 3)^2 + 1$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат) с помощью параллельного переноса. Выражение $(x - 3)$ означает сдвиг графика по оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Слагаемое $+1$ означает сдвиг графика по оси ординат (Oy) на 1 единицу вверх. Таким образом, вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 1)$.

Ответ: График функции $y=(x-3)^2+1$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

2) $y = x^2 - 4x + 5$

Для построения графика преобразуем функцию, выделив полный квадрат: $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$. Теперь видно, что график этой функции можно получить из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса. Выражение $(x - 2)$ означает сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox. Слагаемое $+1$ означает сдвиг на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x + 5$ — это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.

3) $y = 7 - 6x - x^2$

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат: $y = -x^2 - 6x + 7 = -(x^2 + 6x) + 7 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = -((x + 3)^2 - 9) + 7 = -(x + 3)^2 + 9 + 7 = -(x + 3)^2 + 16$. Базовой функцией является $y = -x^2$ (парабола, ветви которой направлены вниз). Выражение $(x + 3)$ означает сдвиг на 3 единицы влево по оси Ox. Слагаемое $+16$ означает сдвиг на 16 единиц вверх по оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 16)$.

Ответ: График функции $y = 7 - 6x - x^2$ — это парабола $y=-x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox и на 16 единиц вверх по оси Oy.

4) $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x - 2 + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}$. Базовой функцией является $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$). Знаменатель $(x - 1)$ означает сдвиг на 1 единицу вправо по оси Ox. Новая вертикальная асимптота: $x=1$. Слагаемое $+2$ означает сдвиг на 2 единицы вверх по оси Oy. Новая горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ — это гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

5) $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$

Выделим целую часть: $y = \frac{3x - 6 - 1}{x - 2} = \frac{3(x - 2) - 1}{x - 2} = 3 - \frac{1}{x - 2}$. Базовой функцией является $y = -\frac{1}{x}$ (гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях, с асимптотами $x=0, y=0$). Знаменатель $(x - 2)$ означает сдвиг на 2 единицы вправо (новая вертикальная асимптота $x=2$). Слагаемое $+3$ означает сдвиг на 3 единицы вверх (новая горизонтальная асимптота $y=3$).

Ответ: График функции $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ — это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

6) $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$

Выделим целую часть: $y = \frac{4x + 8 - 1}{x + 2} = \frac{4(x + 2) - 1}{x + 2} = 4 - \frac{1}{x + 2}$. Базовой функцией является $y = -\frac{1}{x}$. Знаменатель $(x + 2)$ означает сдвиг на 2 единицы влево (новая вертикальная асимптота $x=-2$). Слагаемое $+4$ означает сдвиг на 4 единицы вверх (новая горизонтальная асимптота $y=4$).

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 7}{x + 2}$ — это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.