Вопросы, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Графики каких функций можно построить с помощью параллельного переноса? Приведите пример

2. При каких значениях $a$, ($a > 0$) график функции $y = af(x)$ по сравнению с графиком $y = f(x)$:

а) растягивается в $a$ раз;

б) сжимается к оси Ox в $\frac{1}{a}$ раз? Приведите пример.

1. С помощью параллельного переноса можно построить график любой функции, которая получается из некоторой "базовой" функции $y = f(x)$ путем сдвига. Такая функция имеет общий вид $y = f(x - b) + c$.
Построение графика функции $y = f(x - b) + c$ из графика $y = f(x)$ осуществляется в два этапа:
1. График функции $y = f(x)$ сдвигается на $b$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). Если $b > 0$, сдвиг происходит вправо, если $b < 0$ — влево.
2. Полученный на первом шаге график сдвигается на $c$ единиц вдоль оси ординат (Oy). Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.
Пример:
Рассмотрим базовую функцию $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат). С помощью параллельного переноса мы можем построить график функции $y = (x - 3)^2 + 2$. Для этого нужно сдвинуть график $y = x^2$ на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(3, 2)$.
Ответ: С помощью параллельного переноса можно построить графики функций вида $y = f(x-b) + c$, если известен график функции $y = f(x)$. Пример: график функции $y = |x+1| - 4$ можно построить из графика $y=|x|$ сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз.

2. Преобразование графика $y = f(x)$ в график $y = af(x)$ при заданном условии $a > 0$ представляет собой вертикальное растяжение или сжатие графика относительно оси Ox. Каждая ордината (y-координата) точки графика умножается на коэффициент $a$.

а) График функции $y = af(x)$ растягивается в $a$ раз по сравнению с графиком $y = f(x)$, если ордината каждой точки графика увеличивается в $a$ раз. Такое преобразование является растяжением, когда коэффициент $a$ больше единицы ($a > 1$).
Пример:
Пусть дана функция $y = \cos(x)$. Значения этой функции лежат в отрезке $[-1, 1]$. Возьмем $a = 3$. Тогда функция $y = 3\cos(x)$ будет иметь значения в отрезке $[-3, 3]$. Ее график получен растяжением графика $y = \cos(x)$ в 3 раза от оси Ox.
Ответ: При $a > 1$.

б) График функции $y = af(x)$ сжимается к оси Ox, если ордината каждой точки графика по модулю уменьшается. Сжатие к оси Ox в $\frac{1}{a}$ раз означает, что y-координаты умножаются на $a$. Это происходит, когда коэффициент $a$ положителен, но меньше единицы, то есть $0 < a < 1$.
Пример:
Пусть дана та же функция $y = \cos(x)$. Возьмем $a = 0.5$. Так как $0 < 0.5 < 1$, график функции $y = 0.5\cos(x)$ будет сжат к оси Ox. Коэффициент сжатия в данном случае равен $\frac{1}{a} = \frac{1}{0.5} = 2$. Значения новой функции будут лежать в отрезке $[-0.5, 0.5]$.
Ответ: При $0 < a < 1$.